a) Xét \(\Delta AOM\) và \(\Delta BOP\) có:

\(OA = OB = R\) (gt)

\(\widehat {OAM} = \widehat {OBM} = 90^\circ \) (gt)

\(\widehat {MOA} = \widehat {BOP}\)(đối đỉnh)

Do đó \(\Delta AOM = \Delta BOP\) (cạnh góc vuông – góc nhọn kề).

Suy ra \(OM = OP\) (hai cạnh tương ứng).

b) Theo giả thiết, có \(ON\) vuông góc với \(MP\).

Mà \(OM = OP\) nên suy ra tam giác \(MNP\) cân tại \(N\).

Suy ra \(N\) nằm trên tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\).

Lại có \(OI \bot MN\) nên \(MN\) là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) tại \(I\).

Vì hai tiếp tuyến của đường tròn tại \(I\) và \(A\) cắt nhau tại \(M\) nên \(IM = MA\) (tính chất).

Tương tự, hai tiếp tuyến của đường tròn tại \(I\) và \(B\) cắt nhau tại \(N\), do đó \(IN = NB\) (tính chất).

Xét tam giác \(NOM\) vuông tại \(O\), có \(OI \bot MN\) nên áp dụng hệ thức lượng ta có:

\(IM.IN = O{I^2}\) hay \(IM \cdot IN = {R^2}\).

Ta có \(IM \cdot IN = {R^2}\) mà \(IM = MA\,;\,\,IN = NB\) nên \(AM \cdot NB = {R^2}\).

c) Xét tam giác \(MOI\), có: \(\cos \widehat {IOM} = \frac{{OI}}{{OM}} = \frac{R}{{2R}} = \frac{1}{2}.\) Suy ra \(\widehat {IOM} = 60^\circ \).

Ta có \(\widehat {IOM} = \widehat {IOE} = 60^\circ \).

Do \(ON\) vuông góc với \(MP\) nên \(\widehat {NOM} = 90^\circ \).

Ta có: \(\widehat {NOM} = \widehat {NOI} + \widehat {IOM}\) nên \(\widehat {NOI} = \widehat {NOM} - \widehat {IOM} = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ \).

Suy ra \(\widehat {IOF} = \widehat {ION} + \widehat {NOF} = 30^\circ + 90^\circ = 120^\circ \).

Do đó, \(S = \frac{{n\pi {R^2}}}{{360}} = \frac{{120.\pi {R^2}}}{{360}} = \frac{{\pi {R^2}}}{3}\).

Vậy diện tích hình quạt giới hạn bởi \(OI,\,\,OF\) và cung nhỏ \[IF\] là \(\frac{{\pi {R^2}}}{3}\).

d) Ta có \(BN\parallel MA\) (cùng vuông với \(AB\)).

Xét \(\Delta KBN\) và \(\Delta KMA\), có:

\(\widehat {KBN} = \widehat {KMA}\) (so le trong)

\(\widehat {BKN} = \widehat {AKM}\) (đối đỉnh)

Do đó, (g.g). Suy ra \[\frac{{KB}}{{KM}} = \frac{{BN}}{{AM}}\].

Mà, ta có: \(IM = MA\,;\,\,IN = NB\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

Suy ra \[\frac{{KB}}{{KM}} = \frac{{IN}}{{IM}}\].

Xét tam giác \[MBN\], có: \[\frac{{KB}}{{KM}} = \frac{{IN}}{{IM}}\] nên \[IK\parallel BN\] (Thalès đảo).

Mà \[BN \bot AB\] nên \[IK \bot AB\].

Kéo dài \[IK\] cắt \[AB\] tại \[H\] thì \[IH \bot AB\].

Xét \(\Delta AMN\) có: \[IK\parallel AM\,\,\left( {\parallel BN} \right)\] nên theo định lí Thalès có: \(\frac{{IK}}{{AM}} = \frac{{NK}}{{AN}}\).

Xét \(\Delta AMB\) có \(KH\parallel AM\left( {\parallel BN} \right)\) nên theo định lí Thalès có: \(\frac{{KH}}{{AM}} = \frac{{AH}}{{AB}}\).

Xét \(\Delta ANB\) có \(KH\parallel BN\) nên theo định lí Thalès có: \(\frac{{NK}}{{AN}} = \frac{{AH}}{{AB}}\).

Suy ra \(\frac{{IK}}{{AM}} = \frac{{HK}}{{AM}}\), do đó \(IK = HK\) hay \(K\) là trung điểm của \(IH\).

Xét \(\Delta KAB\) và \(\Delta IAB\) có chung đáy \(AB\) và đường cao \(KH = \frac{{IH}}{2}.\)

Suy ra \({S_{KAB}} = \frac{1}{2}{S_{IAB}} = \frac{{IA \cdot IB}}{4}\).

Áp dụng định lí Pythagore vào \(\Delta IAB\) vuông tại \(I\) với \(IB = \sqrt 3 IA\), ta được:

\(I{A^2} + I{B^2} = A{B^2}\)

\(I{A^2} + 3I{A^2} = 4{R^2}\)

\(4I{A^2} = 4{R^2}\)

\(I{A^2} = {R^2}\)

Suy ra \(IA = R\) và \(IB = \sqrt 3 R\).

Do đó \({S_{KAB}} = \frac{1}{2}{S_{IAB}} = \frac{{IA \cdot IB}}{4} = \frac{{{R^2}\sqrt 3 }}{4}\) (đvdt).

Vậy diện tích tam giác \(KAB\) là \(\frac{{{R^2}\sqrt 3 }}{4}\) (đvdt).

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Ôn vào 10

Ôn vào 6

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Khoa học tự nhiên

Tin học

Lịch sử

Địa lí

Toán

Văn

Tiếng Anh

Cho phương trình \(\left( {\frac{2}{5}x + 1} \right)\left( {2 - 5x} \right) = 0\). Tính hiệu giữa nghiệm lớn và nghiệm bé của phương trình đó (kết quả đưa về dạng số thập phân).

________