Với mọi x, y, z chứng minh rằng x2 + y2 + z2 ≥ xy + yz + zx.

Hướng dẫn giảiXét hiệu, ta có: P = x2 + y2 + z2 − xy − yz − zx2P = 2x2 + 2y2 + 2z2 − 2xy − 2yz − 2xz2P = (x2 – 2xy + y2) + (y2 – 2yz + z2) + (z2 – 2zx + z2)2P = (x – y)2 + (y – z)2 + (z – x)2 ≥ 0Suy ra P ≥ 0 hay x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx ≥ 0Vậy x2 + y2 + z2 ≥ xy + yz + xz (đpcm).

Câu hỏi:

19/12/2024 533

Với mọi x, y, z chứng minh rằng x² + y² + z² ≥ xy + yz + zx.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Các dạng bài tập Bất đẳng thức và tính chất lớp 9 (có lời giải) !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Hướng dẫn giải

Xét hiệu, ta có:

P = x² + y² + z² − xy − yz − zx

2P = 2x² + 2y² + 2z² − 2xy − 2yz − 2xz

2P = (x² – 2xy + y²) + (y² – 2yz + z²) + (z² – 2zx + z²)

2P = (x – y)² + (y – z)² + (z – x)² ≥ 0

Suy ra P ≥ 0 hay x² + y² + z² – xy – yz – zx ≥ 0

Vậy x² + y² + z² ≥ xy + yz + xz (đpcm).

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Với mọi a, b chứng minh (a² + b²)² ≥ ab.(a + b)².

Xem đáp án

Lời giải

Hướng dẫn giải

Xét hiệu (a² + b²)² – ab(a + b)²

= a⁴ + 2a²b² + b⁴ – a³b – 2a²b² – ab³

= a⁴ + b⁴ – a³b – ab³

= a³(a – b) + b³ (b – a)

= (a – b)(a³ – b³)

= (a – b)²(a² + ab + b²) ≥ 0.

Do đó, (a² + b²)² – ab(a + b)² ≥ 0.

Vậy (a² + b²)² ≥ ab.(a + b)².

Câu 2

Với mọi a, b chứng minh a² + b² + 1 ≥ ab + a + b.

Xem đáp án

Lời giải

Hướng dẫn giải

Xét hiệu A = a² + b² + 1 – ab – a – b

2A = 2a² + 2b² + 2 – 2ab – 2a – 2b

2A = (a² – 2ab + b²) + (a² – 2a + 1) + (b² – 2b + 1)

2A = (a – b)² + (a – 1)² + (b – 1)² ≥ 0

Suy ra A ≥ 0 hay a² + b² + 1 – ab – a – b ≥ 0.

Vậy a² + b² + 1 ≥ ab + a + b (đpcm).

Câu 3