Một cầu thang lên một đỉnh tháp có 268 bậc, độ cao của bậc thứ nhất (bậc thấp nhất) so với mặt đất là 15 cm. Từ bậc thứ hai trở lên, độ cao của mỗi bậc (so với bậc ở liền phía dưới) cũng bằng 15 cm. Gọi \({{\rm{u}}_{\rm{n}}}\) là độ cao của bậc thứ \(n\) so với mặt đất (tính bằng centimét).

a) \({u_2} = 15.\)

b) Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) lập thành cấp số cộng với công sai \(d = 15.\)

c) Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) thoả mãn \({u_n} = 15n - 15\) với \(n\) là số nguyên dương, \(1 < n \le 268.\)

d) Bạn Dũng đang sắp đi lên đến đỉnh tháp thì nhìn thấy mình còn bước đúng 2 bậc nữa là đứng ở bậc cao nhất. Bạn Dũng ở độ cao so với mặt đất là \(39,9\;\,{\rm{m}}\).

Trong một hội chợ đón xuân, một gian hàng sữa muốn xếp 900 hộp sữa theo quy luật là hàng trên cùng có 1 hộp sữa, mỗi hàng ngay phía dưới lần lượt được xếp nhiều hơn 2 hộp so với hàng trên nó (tham khảo hình vẽ dưới). Hỏi hàng dưới cùng có bao nhiêu hộp sữa?

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có tổng \(n\) số hạng đầu được tính bởi công thức \({S_n} = 2{n^2} - 4n\).

a) Số hạng đầu \({u_1} = - 2\), số hạng thứ hai \({u_2} = 2\).

b) Với \(n \ge 2\) thì \({S_n} - {S_{n - 1}} = 4n - 6\).

c) Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là một cấp số cộng có công sai là \( - 6\).

d) Tổng \({u_2} + {u_4} + {u_6} + \ldots + {u_{100}}\) là \(5000\).

Trong một khán phòng có tất cả 30 dãy ghế, dãy đầu tiên có 15 ghế, các dãy liền sau nhiều hơn dãy trước đó 4 ghế, hỏi khán phòng đó có tất cả bao nhiêu ghế?

Người ta trồng 465 cây trong một khu vườn hình tam giác theo cách sau: Hàng thứ nhất có 1 cây, hàng thứ hai có 2 cây, và cứ như thế mỗi hàng sau sẽ có nhiều hơn hàng ngay trước đó 1 cây. Hỏi tổng số hàng cây trong khu vườn bằng bao nhiêu?

Aladin nhặt được cây đèn thần, chàng miết tay vào cây đèn và Thần đèn hiện ra. Thần đèn cho chàng 3 điều ước. Aladin ước 2 điều đầu tiên tùy thích, nhưng điều ước thứ 3 của chàng là: “Ước gì ngày mai tôi lại nhặt được cây đèn và Thần cho tôi số điều ước gấp đôi số điều ước ngày hôm nay”. Thần đèn chấp thuận và mỗi ngày Aladin đều thực hiện theo quy tắc như trên: ước hết các điều đầu tiên và luôn chừa lại điều ước cuối cùng để kéo dài thỏa thuận với thần đèn cho ngày hôm sau.

a) Ngày thứ hai Aladin ước 6 điều.

b) Ngày thứ ba Aladin ước 12 điều.

c) Ngày thứ tư Aladin ước 48 điều.

d) Sau 10 ngày gặp Thần đèn, Aladin ước tất cả 3 269 điều ước.

Một rạp xiếc có 35 dãy ghế, dãy đầu tiên có 18 ghế. Mỗi dãy sau có hơn dãy trước 4 ghế. Hỏi rạp xiếc có tất cả bao nhiêu ghế?

Số ghế của mỗi dãy (bắt đầu từ dãy đầu tiên) theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng có 35 số hạng với công sai \(d = 4\) và \({u_1} = 18\).

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\), biết \({u_1} = 8,{u_{n + 1}} = 4{u_n} - 9\) với \(n \in {\mathbb{N}^{\rm{*}}}\). Đặt \({v_n} = {u_n} - 3\) với \(n \in {\mathbb{N}^{\rm{*}}}\).

a) \({v_1} = 5\).

b) Dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) là một cấp số nhân có công bội \(q = - 3\).

c) Công thức của số hạng tổng quát \({v_n}\) là \({v_n} = 5 \cdot {\left( { - 3} \right)^{n - 1}}\).

d) Công thức của số hạng tổng quát \({u_n}\) là \({u_n} = 3 + 5 \cdot {\left( { - 3} \right)^{n - 1}}\).