44 bài tập Cấp số cộng và cấp số nhân có lời giải

Ta có $u_{n+1}-u_n=3\left(n+1\right)-2-3n+2=3$ . Chọn A.

Xét dãy số $u_n=3n+2018$ , ta có $u_{n+1}-u_n=3\left(n+1\right)+2018-\left(3n+2018\right)=3\iff u_{n+1}=u_n+3$ .

Vậy dãy số trên là cấp số cộng có công sai d = 3. Chọn B.

Ta có: $S_7=\frac{3\cdot \left[1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^7\right]}{1-\frac{1}{2}}=\frac{381}{64}$ . Chọn A.

Áp dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân: \({u_n} = {u_1} \cdot {q^{n - 1}}\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_2} = 2\\{u_5} = 16\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} \cdot q = 2\\{u_1} \cdot {q^4} = 16\end{array} \right. \Rightarrow {q^3} = 8 \Rightarrow q = 2\). Chọn B.

Áp dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân: \({u_n} = {u_1} \cdot {q^{n - 1}}\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_2} = 2\\{u_5} = 16\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} \cdot q = 2\\{u_1} \cdot {q^4} = 16\end{array} \right. \Rightarrow {q^3} = 8 \Rightarrow q = 2\). Chọn B.

Số hạng tổng quát \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = \frac{3}{2} + \left( {n - 1} \right) \cdot \frac{1}{2} = 1 + \frac{n}{2}\) với mọi \(n \ge 2\).

Xét \(5 = 1 + \frac{n}{2} \Rightarrow n = 8 \in {\mathbb{N}^*}\); suy ra 5 là số hạng thứ 8 của cấp số cộng đã cho.

Xét \(\frac{{15}}{4} = 1 + \frac{n}{2} \Rightarrow n = \frac{{11}}{2} \notin {\mathbb{N}^*};\) suy ra \(\frac{{15}}{4}\) không là một số hạng của cấp số cộng đã cho.

Tổng 100 số hạng đầu của cấp số cộng là: \({S_{100}} = \frac{{100\left[ {2 \cdot \frac{3}{2} + \left( {100 - 1} \right) \cdot \frac{1}{2}} \right]}}{2} = 2625.\)

Đáp án:       a) Sai,                    b) Đúng,     c) Sai,                    d) Sai.

Ta có: \({u_2} = {u_1}q = 4,{u_4} = {u_1}{q^3} = 9 \Rightarrow \frac{{{u_4}}}{{{u_2}}} = \frac{{{u_1}{q^3}}}{{{u_1}q}} \Rightarrow \frac{9}{4} = {q^2} \Rightarrow q = - \frac{3}{2}\,\,\left( {q < 0} \right)\).

Thay \(q = - \frac{3}{2}\) vào \({u_2}\), ta được: \({u_1}\left( { - \frac{3}{2}} \right) = 4 \Rightarrow {u_1} = - \frac{8}{3}\).

Vậy cấp số nhân đã cho có số hạng đầu \({u_1} = - \frac{8}{3}\) và công bội \(q = - \frac{3}{2}\).

Khi đó số hạng tổng quát \({u_n} = - \frac{8}{3} \cdot {\left( { - \frac{3}{2}} \right)^{n - 1}}\). Do đó, \({u_5} = - \frac{{27}}{2}\).

\( - \frac{{2187}}{{32}} \ne - \frac{8}{3} \cdot {\left( { - \frac{3}{2}} \right)^7}\) nên \( - \frac{{2187}}{{32}}\) không phải là số hạng thứ 8.

Tổng 5 số hạng đầu của cấp số nhân là \({S_5} = \frac{{ - \frac{8}{3} \cdot \left[ {1 - {{\left( { - \frac{3}{2}} \right)}^5}} \right]}}{{1 - \left( { - \frac{3}{2}} \right)}} = - \frac{{55}}{6}\).

Đáp án:       a) Đúng,      b) Sai,                   c) Sai,                    d) Sai.

Gọi \({u_1},{u_2}, \ldots ,{u_{30}}\) lần lượt là số ghế của dãy ghế thứ nhất, dãy ghế thứ hai, ..., dãy ghế thứ 30.

Khi đó, \(\left( {{u_n}} \right)\) là một cấp số cộng có số hạng đầu \({u_1} = 15\), công sai \(d = 4\) (trong đó \(1 \le n \le 30\)).

Gọi \({S_{30}}\) là tổng số ghế trong khán phòng.

Ta có: \({S_{30}} = {u_1} + {u_2} + \ldots + {u_{30}} = \frac{{30}}{2}\left[ {2{u_1} + \left( {30 - 1} \right)d} \right] = 15\left( {2 \cdot 15 + 29 \cdot 4} \right) = 2190\).

Đáp án: \(2190\).