Cho cấp số nhân ( left( {{u_n}} right) ), biết ({u_1} + {u_5} = 51;{u_2} + {u_6} = 102 ). a) Số hạng đầu ({u_1} = 3 ). b) Số hạng [{u_4} = 48 ]. c) Số 12 288 là số hạng thứ 12 của cấp số nhân ( left(...

Gọi (q ) là công bội của cấp số nhân đã cho. Ta có: ( left { begin{array}{l}{u_1} + {u_5} = 51 {u_2} + {u_6} = 102 end{array} right. Leftrightarrow left { begin{array}{l}{u_1} + {u_1}{q^4} = 51 {u_1}q + {u_1}{q^5} = 102 end{array} right. Leftrightarrow left { { begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} left( {1 + {q^4}} right) = 51 & & (1)} {{u_1}q left( {1 + {q^4}} right) = 102 & (2)} end{array}} right. ). Nhận xét: Nếu ({u_1} = 0 ) hay (q = 0 ) thì (1) và (2) đều không thoả mãn, vì vậy ta có ({u_1}q ne 0 ). Chia theo vế (2) cho (1), ta được: (q = 2 ). Thay (q = 2 ) vào (1) suy ra ({u_1} = frac{{51}}{{1 + {2^4}}} = 3 ). Công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân: ({u_n} = 3 cdot {2^{n - 1}} ). Khi đó, ({u_4} = 3 cdot {2^3} = 24 ). Xét ({u_n} = 12288 Leftrightarrow 3 cdot {2^{n - 1}} = 12288 Leftrightarrow {2^{n - 1}} = {2^{12}} Leftrightarrow n = 13 ). Vậy 12 288 là số hạng thứ 13 của cấp số nhân đã cho. Tổng tám số hạng đầu của cấp số nhân là: ({S_8} = frac{{{u_1} left( {1 - {q^8}} right)}}{{1 - q}} = frac{{3 cdot left( {1 - {2^8}} right)}}{{1 - 2}} = 765 ). Đáp án: a) Đúng, b) Sai, c) Sai, d) Đúng.

Cho cấp số nhân ( left( {{u_n}} right) ), biết ({u_1} + {u_5} = 51;{u_2} + {u

Câu 1

Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ có tổng $n$ số hạng đầu được tính bởi công thức ${S_n} = 2{n^2} - 4n$.

a) Số hạng đầu ${u_1} = - 2$, số hạng thứ hai ${u_2} = 2$.

b) Với $n \ge 2$ thì ${S_n} - {S_{n - 1}} = 4n - 6$.

c) Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ là một cấp số cộng có công sai là $ - 6$.

d) Tổng ${u_2} + {u_4} + {u_6} + \ldots + {u_{100}}$ là $5000$.

Xem đáp án

Lời giải

$Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ có tổng $n$ số hạng đầu được tính bởi công thức ${S_n} = 2{n^2} - 4n$. (ảnh 1)$

Câu 2

Trong một hội chợ đón xuân, một gian hàng sữa muốn xếp 900 hộp sữa theo quy luật là hàng trên cùng có 1 hộp sữa, mỗi hàng ngay phía dưới lần lượt được xếp nhiều hơn 2 hộp so với hàng trên nó (tham khảo hình vẽ dưới). Hỏi hàng dưới cùng có bao nhiêu hộp sữa?

Xem đáp án

Lời giải

Số hộp sữa ở mỗi hàng từ trên xuống lập thành một cấp số cộng với số hạng đầu ${u_1} = 1$, công sai $d = 2$. Khi đó, tổng của $n$ số hạng đầu cấp số cộng là:

\[{S_n} = \frac{n}{2}\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right] \Leftrightarrow 900 = \frac{n}{2}\left[ {2 \cdot 1 + \left( {n - 1} \right) \cdot 2} \right]\] $ \Leftrightarrow 1800 = 2{n^2} \Leftrightarrow {n^2} = 900$. Suy ra $n = 30$.

Vậy số hộp sữa của dãy cuối cùng là: ${u_{30}} = {u_1} + 29d = 1 + 29 \cdot 2 = 59$.

Đáp án: $59$.

Câu 3