Cho hình vuông ${C_1}$ có cạnh bằng $1$. Gọi ${C_2}$ là hình vuông có các đỉnh là trung điểm các cạnh của hình vuông ${C_1}$; ${C_3}$ là hình vuông có các đỉnh là trung điểm các cạnh của hình vuông ${C_2}$;... Cứ tiếp tục quá trình như trên, ta được dãy các hình vuông ${C_1};{C_2};{C_3};...{C_n};...$ Diện tích của hình vuông ${C_{2025}}$ có dạng $\frac{1}{{{2^a}}}$. Tìm $a$.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 44 bài tập Cấp số cộng và cấp số nhân có lời giải !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Gọi ${u_n}$ là cạnh của hình vuông ${C_n}$.

Ta có: ${u_1} = 1;\,\,{u_2} = \frac{1}{2}{u_1} \cdot \sqrt 2 = {u_1} \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2};\,\,{u_3} = \frac{1}{2}{u_2} \cdot \sqrt 2 = {u_2} \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2};...$

Cứ như vậy, dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ lập thành cấp số nhân có số hạng đầu ${u_1} = 1,$công bội $q = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$.

Do đó, ${u_{2025}} = {\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^{2024}}$nên diện tích hình vuông ${C_{2025}}$ là: $u_{2025}^2 = \frac{1}{{{2^{2024}}}}$. Vậy $a = 2024$.

Đáp án: $2024$.

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ có tổng $n$ số hạng đầu được tính bởi công thức ${S_n} = 2{n^2} - 4n$.

a) Số hạng đầu ${u_1} = - 2$, số hạng thứ hai ${u_2} = 2$.

b) Với $n \ge 2$ thì ${S_n} - {S_{n - 1}} = 4n - 6$.

c) Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ là một cấp số cộng có công sai là $ - 6$.

d) Tổng ${u_2} + {u_4} + {u_6} + \ldots + {u_{100}}$ là $5000$.

Xem đáp án

Lời giải

$Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ có tổng $n$ số hạng đầu được tính bởi công thức ${S_n} = 2{n^2} - 4n$. (ảnh 1)$

Câu 2

Trong một hội chợ đón xuân, một gian hàng sữa muốn xếp 900 hộp sữa theo quy luật là hàng trên cùng có 1 hộp sữa, mỗi hàng ngay phía dưới lần lượt được xếp nhiều hơn 2 hộp so với hàng trên nó (tham khảo hình vẽ dưới). Hỏi hàng dưới cùng có bao nhiêu hộp sữa?

Xem đáp án

Lời giải

Số hộp sữa ở mỗi hàng từ trên xuống lập thành một cấp số cộng với số hạng đầu ${u_1} = 1$, công sai $d = 2$. Khi đó, tổng của $n$ số hạng đầu cấp số cộng là:

\[{S_n} = \frac{n}{2}\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right] \Leftrightarrow 900 = \frac{n}{2}\left[ {2 \cdot 1 + \left( {n - 1} \right) \cdot 2} \right]\] $ \Leftrightarrow 1800 = 2{n^2} \Leftrightarrow {n^2} = 900$. Suy ra $n = 30$.

Vậy số hộp sữa của dãy cuối cùng là: ${u_{30}} = {u_1} + 29d = 1 + 29 \cdot 2 = 59$.

Đáp án: $59$.

Câu 3