Cho hình vuông \({C_1}\) có cạnh bằng \(1\). Gọi \({C_2}\) là hình vuông có các đỉnh là trung điểm các cạnh của hình vuông \({C_1}\); \({C_3}\) là hình vuông có các đỉnh là trung điểm các cạnh của hình vuông \({C_2}\);... Cứ tiếp tục quá trình như trên, ta được dãy các hình vuông \({C_1};{C_2};{C_3};...{C_n};...\) Diện tích của hình vuông \({C_{2025}}\) có dạng \(\frac{1}{{{2^a}}}\). Tìm \(a\).

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có tổng \(n\) số hạng đầu được tính bởi công thức \({S_n} = 2{n^2} - 4n\).

a) Số hạng đầu \({u_1} = - 2\), số hạng thứ hai \({u_2} = 2\).

b) Với \(n \ge 2\) thì \({S_n} - {S_{n - 1}} = 4n - 6\).

c) Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là một cấp số cộng có công sai là \( - 6\).

d) Tổng \({u_2} + {u_4} + {u_6} + \ldots + {u_{100}}\) là \(5000\).

Trong một hội chợ đón xuân, một gian hàng sữa muốn xếp 900 hộp sữa theo quy luật là hàng trên cùng có 1 hộp sữa, mỗi hàng ngay phía dưới lần lượt được xếp nhiều hơn 2 hộp so với hàng trên nó (tham khảo hình vẽ dưới). Hỏi hàng dưới cùng có bao nhiêu hộp sữa?

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\), biết \({u_1} = 8,{u_{n + 1}} = 4{u_n} - 9\) với \(n \in {\mathbb{N}^{\rm{*}}}\). Đặt \({v_n} = {u_n} - 3\) với \(n \in {\mathbb{N}^{\rm{*}}}\).

a) \({v_1} = 5\).

b) Dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) là một cấp số nhân có công bội \(q = - 3\).

c) Công thức của số hạng tổng quát \({v_n}\) là \({v_n} = 5 \cdot {\left( { - 3} \right)^{n - 1}}\).

d) Công thức của số hạng tổng quát \({u_n}\) là \({u_n} = 3 + 5 \cdot {\left( { - 3} \right)^{n - 1}}\).

Người ta trồng 465 cây trong một khu vườn hình tam giác theo cách sau: Hàng thứ nhất có 1 cây, hàng thứ hai có 2 cây, và cứ như thế mỗi hàng sau sẽ có nhiều hơn hàng ngay trước đó 1 cây. Hỏi tổng số hàng cây trong khu vườn bằng bao nhiêu?

Khi kí kết hợp đồng với người lao động, một doanh nghiệp đề xuất hai phương án trả lương như sau:

Phương án 1: Năm thứ nhất, tiền lương là \(120\) triệu đồng. Kể từ năm thứ hai trở đi, mỗi năm tiền lương được tăng \(18\) triệu đồng.

Phương án 2: Quý thứ nhất, tiền lương là \(24\) triệu đồng. Kể từ quý thứ hai trở đi, mỗi quý tiền lương được tăng \(1,8\) triệu đồng.

Tìm \(n\) (với \(n \in {\mathbb{N}^*}\)) để từ năm thứ \(n\) trở đi thì tổng số tiền lương nhận được trong \(n\) năm đi làm ở phương án thứ hai sẽ nhiều hơn ở phương án thứ nhất?

Aladin nhặt được cây đèn thần, chàng miết tay vào cây đèn và Thần đèn hiện ra. Thần đèn cho chàng 3 điều ước. Aladin ước 2 điều đầu tiên tùy thích, nhưng điều ước thứ 3 của chàng là: “Ước gì ngày mai tôi lại nhặt được cây đèn và Thần cho tôi số điều ước gấp đôi số điều ước ngày hôm nay”. Thần đèn chấp thuận và mỗi ngày Aladin đều thực hiện theo quy tắc như trên: ước hết các điều đầu tiên và luôn chừa lại điều ước cuối cùng để kéo dài thỏa thuận với thần đèn cho ngày hôm sau.

a) Ngày thứ hai Aladin ước 6 điều.

b) Ngày thứ ba Aladin ước 12 điều.

c) Ngày thứ tư Aladin ước 48 điều.

d) Sau 10 ngày gặp Thần đèn, Aladin ước tất cả 3 269 điều ước.