Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:

a) \(A = \frac{3}{{2\sqrt x + 5}}\);

b) \(B = \frac{{\sqrt x + 5}}{{\sqrt x + 3}}\);

c) \(D = \frac{1}{{x - \sqrt x + 1}}\).

a) \(A = \frac{3}{{2\sqrt x + 5}}\).

Điều kiện: x ≥ 0.

Với x ≥ 0 thì \(\sqrt x \) ≥ 0 suy ra \(2\sqrt x \ge 0\).

Do đó \(2\sqrt x + 5 \ge 5\), suy ra \(\frac{3}{{2\sqrt x + 5}} \le \frac{3}{5}\) hay A ≤ \(\frac{3}{5}\).

Vậy GTLN của A = \(\frac{3}{5}\) khi x = 0.

b) \(B = \frac{{\sqrt x + 5}}{{\sqrt x + 3}}\)

Điều kiện: x ≥ 0.

Ta có: \(B = \frac{{\sqrt x + 5}}{{\sqrt x + 3}} = 1 + \frac{2}{{\sqrt x + 3}}\).

Nhận thấy với x ≥ 0 thì \(\sqrt x + 3 \ge 3\) suy ra \(\frac{2}{{\sqrt x + 3}} \le \frac{2}{3}\).

Do đó, \(1 + \frac{2}{{\sqrt x + 3}} \le 1 + \frac{2}{3}\) hay B ≤ \(\frac{5}{3}\).

Dấu “=” xảy ra khi x = 0.

Vậy GTLN của B = \(\frac{5}{3}\) khi x = 0.

c) \(D = \frac{1}{{x - \sqrt x + 1}}\).

Điều kiện: x ≥ 0.

Ta có: \(x - \sqrt x + 1 = x - 2.\frac{1}{2}\sqrt x + \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = {\left( {\sqrt x - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} \ge \frac{3}{4}\) với x ≥ 0.

Suy ra \(\frac{1}{{x - \sqrt x + 1}} \le \frac{1}{{\frac{3}{4}}} = \frac{4}{3}\).

Dấu “=” xảy ra khi \(\sqrt x - \frac{1}{2} = 0\) hay x = \(\frac{1}{4}\).

Vậy GTLN của D = \(\frac{4}{3}\) khi x = \(\frac{1}{4}\).