Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:

a) \(A = \frac{3}{{2\sqrt x + 5}}\);

b) \(B = \frac{{\sqrt x + 5}}{{\sqrt x + 3}}\);

c) \(D = \frac{1}{{x - \sqrt x + 1}}\).

Đáp án đúng là: D

Với x > 0 và x ≠ 1, ta có:

\(A = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} + \frac{{\sqrt x }}{{x - 1}} = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} + \frac{{\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} = \frac{{x + 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\).

Có: \(P = \frac{A}{B} + 2018\) với x > 1.

\( = \frac{{x + 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}:\frac{{\sqrt x + 2}}{{x + \sqrt x }} + 2018\)

\( = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}.\frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\sqrt x + 2}} + 2018\)

\( = \frac{x}{{\sqrt x - 1}} + 2018\)

\( = \frac{{x - 1}}{{\sqrt x - 1}} + \frac{1}{{\sqrt x - 1}} + 2018\)

\( = \sqrt x + 1 + \frac{1}{{\sqrt x - 1}} + 2018\)

\( = \sqrt x - 1 + \frac{1}{{\sqrt x - 1}} + 2020\)

Với x > 1, áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

\(\sqrt x - 1 + \frac{1}{{\sqrt x - 1}} \ge 2\sqrt {\left( {\sqrt x - 1} \right).\frac{1}{{\sqrt x - 1}}} = 2\)

Suy ra \(\sqrt x - 1 + \frac{1}{{\sqrt x - 1}} + 2020 \ge 2022\).

Dấu “=” xảy ra khi \(\sqrt x - 1 = \frac{1}{{\sqrt x - 1}}\) hay x = 4 (do x > 1).

Vậy GTNN của P = 2022 khi x = 4.

Đáp án đúng là: A

Với x ≥ 0, x ≠ 4, x ≠ 9, ta có:

\(B = \left( {\frac{{3\sqrt x + 6}}{{x - 4}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}} \right):\frac{{x - 9}}{{\sqrt x - 3}}\)

\(B = \left[ {\frac{{\left( {3\sqrt x + 6} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} + \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}} \right].\frac{1}{{\sqrt x + 3}}\)

\(B = \frac{{3\sqrt x + 6 + x + 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}.\frac{1}{{\sqrt x + 3}}\)

\(B = \frac{{x + 5\sqrt x + 6}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}.\frac{1}{{\sqrt x + 3}}\)

\(B = \frac{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}.\frac{1}{{\sqrt x + 3}}\)

\(B = \frac{1}{{\sqrt x - 2}}\).

Ta có: M = A.B = \(\frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 3}}.\frac{1}{{\sqrt x - 2}} = \frac{1}{{\sqrt x + 3}}\).

Vì x ≥ 0 nên \(\sqrt x \ge 0\) suy ra \(\sqrt x + 3 \ge 3\). Do đó \(\frac{1}{{\sqrt x + 3}} \le \frac{1}{3}\).

Dấu “=” xảy ra khi x = 0 (thỏa mãn).

Vậy GTLN của M = \(\frac{1}{3}\) khi x = 0.