PHẦN II. TỰ LUẬN

Rút gọn biểu thức \(P = {\log _3}\left( {{x^3} + x} \right) - {\log _3}\left( {{x^2} + 1} \right)\) với \(x > 0\).

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang vuông tại \(A\) và \(D\). \(SA\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\), \(SA = AC,SC = 2a,AB = 2AD = 2DC\).

a) \(SA\) vuông góc với \(BC\).

b) Góc giữa đường thẳng \(SC\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) bằng \(45^\circ \).

c) Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\) bằng \(60^\circ \).

d) Khoảng cách từ điểm \(D\) đến mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) bằng \(\frac{a}{2}\).

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông tâm \(O\), \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\). Gọi \(I\) là trung điểm của \(SC\). Khoảng cách từ \(I\) đến mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) bằng độ dài đoạn thẳng nào?

Kim tự tháp Cheops là kim tự tháp lớn nhất trong các kim tự tháp ở Ai Cập, được xây dựng vào thế kỉ thứ 26 trước Công nguyên và là một trong bảy kì quan của thế giới cổ đại. Kim tự tháp có dạng hình chóp với đáy là hình vuông có độ dài cạnh đáy khoảng 230m, các cạnh bên bằng nhau và dài khoảng 219 m. Gọi \(\varphi \) là số đo của góc nhị diện tạo bởi mặt bên và mặt đáy của kim tự tháp. Tính \(\tan \varphi \) (tính chính xác đến hàng phần trăm).

Một cái hộp hình lập phương, bên trong nó đựng một mô hình đồ chơi có dạng hình chóp tứ giác đều mà đỉnh của hình chóp đó trùng với tâm của một mặt chiếc hộp, giả sử hình vuông đáy của hình chóp trùng với một mặt của chiếc hộp (mặt này cùng với mặt chứa đỉnh hình chóp là hai mặt đối nhau). Biết cạnh của chiếc hộp bằng 30 cm, hãy tính thể tích phần không gian bên trong chiếc hộp không bị chiếm bởi mô hình đồ chơi dạng hình chóp (mô hình đồ chơi được làm bởi chất liệu nhựa đặc bên trong, kết quả có đơn vị là dm³).

Anh Toàn được tuyển dụng vào một công ty đầu năm 2013. Công ty trả lương cho anh theo nguyên tắc. Lương khởi điểm anh nhận là 6 triệu đồng/tháng và cứ sau 3 năm công ty lại tăng lương cho anh thêm 25% số lương đang hưởng. Hiện nay (năm 2024) anh đang được hưởng lương là bao nhiêu triệu đồng một tháng? (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

Tìm \(a\) để hàm số \(y = {\log _a}x\left( {0 < a \ne 1} \right)\) có đồ thị là hình bên

Rút gọn biểu thức \(P = {x^{\frac{1}{3}}}.\sqrt[6]{x}\) với \(x > 0\).