Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng \(a\sqrt 2 ,\) chiều cao bằng \(2a\) và \(O\) là tâm của đáy. Bằng cách thiết lập hệ trục tọa độ \(Oxyz\) như hình vẽ bên, ta tính được khoảng cách từ điểm \(C\) đến mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) bằng

Vì hướng bay và vận tốc bay của con chim không đổi nên hai vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} \) cùng hướng.

Mặt khác do thời gian bay từ \(A\) đến \(B\) gấp đôi thời gian bay từ \(B\) đến \(C\) nên \(\overrightarrow {AB} = 2\overrightarrow {BC} \)

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{40 - 20 = 2\left( {a - 40} \right)}\\{50 - 40 = 2\left( {b - 50} \right)}\\{50 - 30 = 2\left( {c - 50} \right)}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 50}\\{b = 55}\\{c = 60}\end{array} \Rightarrow a + b + c = 165} \right.} \right.\).

Đáp án: \(165\).

Do \[\Delta :\frac{{x - 2024}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 2025}}{{ - 2}}\] nên \[\overrightarrow u  = \left( {2;1; - 2} \right)\] là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \[\Delta \].

Do \[\left( P \right):2x + 2y - z + 1 = 0\] nên \[\overrightarrow n  = \left( {2;2; - 1} \right)\] là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \[\left( P \right)\].

Ta có \[\sin \left( {\Delta ,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow u  \cdot \overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right| \cdot \left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{{\left| {2 \cdot 2 + 1 \cdot 2 - 2 \cdot \left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}}  \cdot \sqrt {{2^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{8}{9}\].

\[{\cos ^2}\left( {\Delta ,\left( P \right)} \right) = 1 - {\sin ^2}\left( {\Delta ,\left( P \right)} \right) = 1 - \frac{{64}}{{81}} = \frac{{17}}{{81}} \Rightarrow \cos \left( {\Delta ,\left( P \right)} \right) = \frac{{\sqrt {17} }}{9}\].

Suy ra \[\left( {\Delta ,\left( P \right)} \right) \approx 63^\circ \].

Đáp án:       a) Đúng,      b) Đúng,     c) Sai,                    d) Đúng.