Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng \(a\sqrt 2 ,\) chiều cao bằng \(2a\) và \(O\) là tâm của đáy. Bằng cách thiết lập hệ trục tọa độ \(Oxyz\) như hình vẽ bên, ta tính được khoảng cách từ điểm \(C\) đến mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) bằng

Vì \(S.ABCD\) là hình chóp tứ giác đều nên \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\) và \(ABCD\) là hình vuông.

Suy ra \(OA = OB = OC = \frac{{AC}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 \cdot \sqrt 2 }}{2} = a.\)

Dựa vào hình vẽ, ta có \(C\left( {a;0;0} \right),B\left( {0;a;0} \right),A\left( { - a;0;0} \right),S\left( {0;0;2a} \right).\)

Suy ra \(\overrightarrow {AS} = \left( {a;0;2a} \right),\overrightarrow {BS} = \left( {0; - a;2a} \right).\)

Mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) có một cặp vectơ chỉ phương \(\vec u = \left( {1;0;2} \right)\) và \(\vec v = \left( {0; - 1;2} \right)\) nên có vectơ pháp tuyến là \(\vec n = \left[ {\vec u,\vec v} \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&2\\{ - 1}&2\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&1\\2&0\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\0&{ - 1}\end{array}} \right|} \right) = \left( {2; - 2; - 1} \right).\)

Suy ra mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) có phương trình là \(2x - 2y - z + 2a = 0.\)

Vậy \(d\left( {C,\left( {SAB} \right)} \right) = \frac{{\left| {2 \cdot a - 2 \cdot 0 - 2 \cdot 0 + 2a} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{4a}}{3}.\) Chọn D.