Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {2; - 1; - 5} \right)\), \(B\left( { - 4;2;1} \right)\). Xét \(M\) là điểm thay đổi thỏa mãn điều kiện \(\left| {\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} } \right| = 9\). Độ dài đoạn thẳng \(OM\) lớn nhất bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Tìm tọa độ điểm \(I\) sao cho \(\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \).

Ta có \(\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {OA} + 2\overrightarrow {OB} = 3\overrightarrow {OI} \)\( \Leftrightarrow \overrightarrow {OI} = \frac{1}{3}\overrightarrow {OA} + \frac{2}{3}\overrightarrow {OB} \).

Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{1}{3}{x_A} + \frac{2}{3}{x_B}\\{y_I} = \frac{1}{3}{y_A} + \frac{2}{3}{y_B}\\{z_I} = \frac{1}{3}{z_A} + \frac{2}{3}{z_B}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_I} = - 2\\{y_I} = 1\\{z_I} = - 1\end{array} \right.\). Do đó \(I\left( { - 2;1; - 1} \right)\).

Hơn nữa \(\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} = 3\overrightarrow {MI} \) nên \(\left| {\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} } \right| = 9 \Leftrightarrow 3\left| {\overrightarrow {MI} } \right| = 9 \Leftrightarrow IM = 3\).

Khi đó, tập hợp điểm \(M\) là mặt cầu tâm \(I\left( { - 2;1; - 1} \right)\), bán kính \(R = 3\).

Suy ra, độ dài lớn nhất của đoạn \(OM\) bằng \(OI + R = \sqrt 6 + 3 \approx 5,45\).

Đáp án: \(5,45\).