Gọi \(D\) là hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số \(y = \sqrt x ,y = \frac{1}{2}\sqrt x \) và hai đường thẳng \(x = 0,x = 4\).

a) Gọi \({V_1}\) là thể tích khối tròn xoay được tạo khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = 0,\)\(y = \sqrt x \), \(x = 0,x = 4\) quanh trục \(Ox\). Khi đó \({V_1} = \pi \int\limits_0^4 {x{\rm{d}}x} .\)

b) Gọi \({V_2}\) là thể tích khối tròn xoay được tạo khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = 0,\)\(y = \frac{1}{2}\sqrt x \), \(x = 0,x = 4\) quanh trục \(Ox\). Khi đó \({V_2} = \pi \int\limits_0^4 {\frac{1}{4}x{\rm{d}}x} .\)

c) Giá trị của biểu thức \({V_1} - {V_2}\) bằng \(12\pi \).

d) Một vật thể A có hình dạng được tạo thành khi quay hình phẳng \(D\)quanh trục \(Ox\)( đơn vị trên hai trục tính theo centimét). Thể tích của vật thể đó (làm tròn đến hàng phần mười theo đơn vị centimét khối) là \(37,7{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}\).

Một xí nghiệp mỗi ngày sản xuất ra \(2000\) sản phẩm trong đó có \(39\) sản phẩm lỗi. Lần lượt lấy ra ngẫu nhiên hai sản phẩm không hoàn lại để kiểm tra. Tính xác suất của biến cố: Sản phẩm lấy ra lần thứ hai bị lỗi (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Trong không gian \(Oxyz\), cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang vuông tại \(A\left( {0;0;0} \right),B\left( {6;0;0} \right)\) và cạnh bên \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết rằng \(D\left( {0;x;0} \right)\) với \(x > 0\) thỏa mãn \(AD = 2AB = 2BC\), góc giữa đường thẳng \(SC\)và mặt phẳng đáy bằng \(45^\circ \). Tính khoảng cách từ \(B\) đến mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\).

Tại một nhà máy, khi sản xuất \(x\) tạ sản phẩm \(\left( {x > 0} \right)\) mỗi ngày thì chi phí trung bình trên mỗi tạ sản phẩm được tính bởi công thức \(\overline C \left( x \right) = \frac{1}{2}x + 3 + \frac{8}{x}\) (triệu đồng/tạ). Tính chi phí trung bình thấp nhất (tính theo triệu đồng/tạ) mà nhà máy có thể đạt được trong ngày.

Trong điều kiện nuôi cấy thích hợp, cứ 20 phút vi khuẩn E. Coli lại phân đôi một lần. Giả sử lúc đầu có 5 vi khuẩn và sau \(n\) phút (\(n \in \mathbb{N}\)) có hơn 2000 vi khuẩn. Giá trị nhỏ nhất của \(n\) là bao nhiêu?

Trong không gian \(Oxyz\), cho hình chóp đều \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông tâm \(O\), cạnh bằng \(2\sqrt 2 \), cạnh bên \(SA = 4\) (tham khảo hình vẽ).

a) Tọa độ của điểm \(A\) là \(\left( {0;2;0} \right)\).

b) Trọng tâm của tam giác \(SAB\) là \(G\left( {\frac{2}{3}; - \frac{2}{3};\frac{{2\sqrt 3 }}{3}} \right)\).

c) Nếu \(E\left( {a;0;b} \right)\) là điểm trên mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\) sao cho ba điểm \(C,E,G\) thẳng hàng thì \(a \cdot b = \sqrt 3 \).

d) Nếu \(M\left( {0;m;n} \right)\) là điểm trên mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) sao cho \(MG + MB\) đạt giá trị nhỏ nhất thì \({m^2} + {n^2} = 1\).