Trong hệ tọa độ $Oxy$, cho $\overrightarrow u = \frac{1}{2}\overrightarrow i - 5\overrightarrow j$. Tọa độ vectơ $\overrightarrow u$ là

Trong mặt phẳng $Oxy$, cho điểm $M( - 1;2)$và 2 đường thẳng${d_1}:x + 2y + 1 = 0;\,{d_2}:2x + y + 2 = 0$. Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ qua $M( - 1;2)$và cắt ${d_1},{d_2}$ lần lượt tại $A,B$sao cho $MA = 2MB$.

Một vật chuyển động tròn đều chịu tác động của lực hướng tâm, quỹ đạo chuyển động của vật trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ là đường tròn có phương trình ${x^2} + {y^2} = 100$. Vật chuyển động đến điểm $M\left( {8;6} \right)$ thì bị bay ra ngoài. Trong những giây đầu tiên sau khi vật bay ra ngoài, vật chuyển động trên đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn. Biết phương trình tiếp tuyến đó có dạng $ax + by - c = 0$ với $a,b,c$ là các số nguyên dương và $a,b$ nguyên tố cùng nhau. Giá trị của $a + b + c$ bằng bao nhiêu?

Một công ty du lịch thông báo giá tiền cho chuyến đi tham quan của môt nhóm khách như sau 50 khách đầu tiên có giá 300000 đồng/người. Nếu có nhiều hơn 50 người đăng kí thì cứ có thêm một người, giá vé sẽ giảm 5000 đồng/người cho toàn bộ hành khách. Biết chi phí thực sự của chuyến đi là 15 080 000 đồng. Số người của nhóm khách du lịch nhiều nhất là bao nhiêu để công ty không bị lỗ.

Trong mặt phẳng gắn hệ trục tọa độ $Oxy$, hai tàu chuyển động đều, cùng xuất phát từ điểm $O$. Sau 2 giờ, tàu một di chuyển đến vị trí điểm $B\left( {15;20} \right)$, tàu hai di chuyển đến vị trí điểm $C\left( {30; - 40} \right)$ (đơn vị trục tọa độ là km, kết quả làm tròn đến hàng phần trăm). Khoảng cách giữa hai tàu sau 2 giờ là bao nhiêu km? (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Cho hai đường thẳng ${\Delta _1}:4x - 5y + 8 = 0$ và ${\Delta _2}:10x + 8y - 4 = 0$.

a) Vectơ pháp tuyến của hai đường thẳng ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ lần lượt là $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {4; - 5} \right),\overrightarrow {{n_2}} = \left( { - 5; - 4} \right)$.

b) Hai đường thẳng ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ vuông góc với nhau.

c) Góc giữa hai đường thẳng ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ nhỏ hơn 60 độ.

d) Điểm $M$ thuộc giao điểm của ${\Delta _1}$ và trục hoành. Khoảng cách từ điểm $M$ đến ${\Delta _2}$ là $d\left( {M,{\Delta _2}} \right) = \frac{a}{{\sqrt b }}\left( {a,b \in \mathbb{Z}} \right)$ sao cho $a,b$ là phân số tối giản. Khi đó $\sqrt {a + b} > 7$.

Cho biểu thức $f\left( x \right) = \left( {m - 2} \right){x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + 3$.

a) $f\left( x \right)$ là tam thức bậc hai khi $m \ne 2$.

b) Khi $m = 3$ thì $f\left( x \right) > 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$.

c) $f\left( x \right) < 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$ khi và chỉ khi $m < 2$ và $\Delta < 0$.

d) Khi $m = 2,f\left( x \right) > 0,\forall x \in \mathbb{R}$.