(1,5 điểm) Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có \(AB = 5{\rm{ cm,}}\) \(AC = 12{\rm{ cm}}\), đường cao \(AD\) với \(D \in BC.\)
a) Tính độ dài cạnh \(BC\).
b) Chứng minh \(\Delta DAB \sim \Delta ACB\) và \(A{C^2} = DB.BC\).
c) Chứng minh rằng \(A{D^2} = DB.CD\) và \(\frac{1}{{A{D^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}}\).
(1,5 điểm) Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có \(AB = 5{\rm{ cm,}}\) \(AC = 12{\rm{ cm}}\), đường cao \(AD\) với \(D \in BC.\)
a) Tính độ dài cạnh \(BC\).
b) Chứng minh \(\Delta DAB \sim \Delta ACB\) và \(A{C^2} = DB.BC\).
c) Chứng minh rằng \(A{D^2} = DB.CD\) và \(\frac{1}{{A{D^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}}\).
Câu hỏi trong đề: Bộ 5 đề thi giữa kì 2 Toán 8 cấu trúc mới (có tự luận) !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Áp dụng định lí Pythagore vào \(\Delta ABC\), ta có:
\(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\)
\({5^2} + {12^2} = B{C^2}\)
\(B{C^2} = 169\)
Suy ra \(BC = 13{\rm{ cm}}\).
b) Xét \(\Delta DAB\) và \(\Delta ACB\) có: \(\widehat {ADB} = \widehat {CAB} = 90^\circ \) và \(\widehat {DBA} = \widehat {ABC}\) (góc chung)
Do đó, \(\Delta DAB \sim \Delta ACB\) (g.g).
Xét \(\Delta DAC\) và \(\Delta ABC\) có: \(\widehat {ADC} = \widehat {CAB} = 90^\circ \) và \(\widehat {DCA} = \widehat {ACB}\) (góc chung)
Do đó, \(\Delta DAC \sim \Delta ABC\) (g.g).
Suy ra \(\frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{DC}}{{AC}}\) hay \(A{C^2} = DC.BC\) (đpcm).
c) Ta có: \(\Delta DAB \sim \Delta ACB\) nên \(\frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{BD}}{{AB}}\) hay \(A{B^2} = BC.BD\).
Xét \(\Delta DAC\) và \(\Delta DBA\) có: \(\widehat {ADB} = \widehat {CDA} = 90^\circ \) và \(\widehat {DBA} = \widehat {DAC}\) (cùng phụ với \(\widehat {ACB}\))
Suy ra \(\Delta DAC \sim \Delta DBA\) (g.g)
Suy ra \(\frac{{AD}}{{BD}} = \frac{{CD}}{{AD}}\) hay \(A{D^2} = CD.DB\).
Ta có: \(\frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} = \frac{1}{{BC.BD}} + \frac{1}{{DC.BC}} = \frac{{DC}}{{BC.DC.BD}} + \frac{{DB}}{{DC.BC.DB}} = \frac{{DC + BC}}{{DC.DC.DB}}\)
\( = \frac{{BC}}{{DC.DB.BC}} = \frac{1}{{DC.DB}} = \frac{1}{{A{D^2}}}\).
Vậy \(\frac{1}{{A{D^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}}\) (đpcm).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Dành cho bạn Hot
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Gọi \(x\) (áo) là số áo dự định phải may của tổ đó \(\left( {x \in {\mathbb{N}^*}} \right)\).
Thời gian may dự định của tổ là \(\frac{x}{{50}}\) (ngày).
Thực tế số áo tổ đã may được là \(x + 20\) (áo).
Thời gian thực tế tổ may đã làm là \(\frac{{x + 20}}{{60}}\) (ngày).
Theo đề bài, ta có phương trình: \(\frac{x}{{50}} - \frac{{x + 20}}{{60}} = 1\).
Giải phương trình, ta có:
\(\frac{x}{{50}} - \frac{{x + 20}}{{60}} = 1\)
\(\frac{{6x}}{{300}} - \frac{{5\left( {x + 2} \right)}}{{300}} = 1\)
\(\frac{{6x - 5x - 100}}{{300}} = 1\)
\(\frac{{x - 100}}{{300}} = 1\)
\(x - 100 = 300\)
\(x = 400\) (thỏa mãn)
Vậy số lượng áo ban đầu tổ phải may là \(400\) chiếc.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Đáp án:
Đáp án: \(0,5\)
Với \(a \ne 0;a \ne 1;a \ne - 1\), ta có:
\(A = \left( {\frac{{a + 2}}{{a + 1}} - \frac{{a - 2}}{{a - 1}}} \right).\frac{{a + 1}}{a}\)
\(A = \left[ {\frac{{\left( {a + 2} \right)\left( {a - 1} \right)}}{{\left( {a - 1} \right)\left( {a + 1} \right)}} - \frac{{\left( {a - 2} \right)\left( {a + 1} \right)}}{{\left( {a - 1} \right)\left( {a + 1} \right)}}} \right].\frac{{a + 1}}{a}\)
\(A = \frac{{\left( {a + 2} \right)\left( {a - 1} \right) - \left( {a - 2} \right)\left( {a + 1} \right)}}{{\left( {a - 1} \right)\left( {a + 1} \right)}}.\frac{{a + 1}}{a}\)
\(A = \frac{{{a^2} + a - 2 - {a^2} + a + 2}}{{\left( {a - 1} \right)\left( {a + 1} \right)}}.\frac{{a + 1}}{a}\)
\(A = \frac{{2a}}{{\left( {a + 1} \right)\left( {a - 1} \right)}}.\frac{{a + 1}}{a} = \frac{2}{{a - 1}}\).
Để \(A = 2B\) thì \(\frac{2}{{a - 1}} = \frac{3}{{{a^2} - 1}}\) suy ra \(2\left( {{a^2} - 1} \right) = 3\left( {a - 1} \right)\)
Do đó, \(2\left( {a - 1} \right)\left( {a + 1} \right) - 3\left( {a - 1} \right) = 0\) hay \(\left( {a - 1} \right)\left( {2a + 2 - 3} \right) = 0\).
Suy ra \(\left( {a - 1} \right)\left( {2a - 1} \right) = 0\).
Suy ra \(a = 1\) (loại) hoặc \(a = \frac{1}{2}\) (thỏa mãn).
Vậy \(a = \frac{1}{2}\) hay \(a = 0,5\).
Câu 3
a) \(\Delta BAC \sim \Delta BMN\).
b) \(\frac{{BA}}{{BM}} = \frac{{BC}}{{BN}}\).
c) \(\Delta BAM \sim \Delta BCN\)
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập