Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {3;3;1} \right),B\left( {0;2;1} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x + y + z - 7 = 0\). Đường thẳng \(d\) nằm trong \(\left( P \right)\) sao cho mọi điểm thuộc \(d\) cách đều hai điểm \(A,B\). Tính khoảng cách từ điểm \(O\) đến đường thẳng \(d\).

Gọi \(\left( Q \right)\) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng \(AB\), khi đó \(\left( Q \right)\) nhận \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 3; - 1;0} \right)\) làm vectơ pháp tuyến và đi qua điểm \(I\left( {\frac{3}{2};\frac{5}{2};1} \right)\) là trung đểm của \(AB\).

Ta có phương trình mặt phẳng \(\left( Q \right): - 3\left( {x - \frac{3}{2}} \right) - \left( {y - \frac{5}{2}} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x + y - 7 = 0\).

Theo giả thiết với mọi \(M \in d\) thì \(AM = BM\), do đó \(M \in \left( Q \right)\), từ đó \(d \subset \left( Q \right)\).

Mà \(d \subset \left( P \right)\) nên đường thẳng \(d\) là giao tuyến chung của hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1;1;1} \right);\overrightarrow {{n_2}} = \left( {3;1;0} \right)\)lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\).

Vì \(d\) là giao tuyến chung của hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) nên một vectơ chỉ phương của \(d\) là \(\overrightarrow u = \left[ {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right] = \left( { - 1;3; - 2} \right)\).

Xét hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x + y + z - 7 = 0\\3x + y - 7 = 0\end{array} \right.\). Ta thấy \(E\left( {0;7;0} \right) \in \left( P \right) \cap \left( Q \right)\) hay đường thẳng \(d\) đi qua \(E\).

Vậy phương trình đường thẳng \(d\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = - t\\y = 7 + 3t\\z = - 2t\end{array} \right.\).

Gọi \(\left( R \right)\) là mặt phẳng đi qua \(O\) và vuông góc với đường thẳng \(d\) nên \(\left( R \right)\) nhận \(\overrightarrow u = \left( { - 1;3; - 2} \right)\) làm vectơ pháp tuyến.

Suy ra mặt phẳng \(\left( R \right)\) có phương trình là \( - x + 3y - 2z = 0\).

Gọi \(H\) là hình chiếu của \(O\) trên đường thẳng \(d\).

Khi đó tọa độ điểm \(H\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x = - t\\y = 7 + 3t\\z = - 2t\\ - x + 3y - 2z = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - t\\y = 7 + 3t\\z = - 2t\\t + 21 + 9t + 4t = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{3}{2}\\y = \frac{5}{2}\\z = 3\\t = - \frac{3}{2}\end{array} \right.\).

Suy ra \(H\left( {\frac{3}{2};\frac{5}{2};3} \right)\). Khi đó \(d\left( {O,d} \right) = OH = \sqrt {{{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{5}{2}} \right)}^2} + {3^2}} = \frac{{\sqrt {70} }}{2}\).