(4,0 điểm)

2) Cho đường tròn (O) đường kính AB=2R. Lấy điểm C trên đường tròn (O) và lấy điểm M bất kì trên cung nhỏ BC (M không trùng với B,C). Gọi H là giao điểm của AM và BC. Đường thẳng AC cắt đường thẳng BM tại D. DH cắt AB tại K.

a) Chứng minh rằng bốn điểm $\mathrm{C},\mathrm{D},\mathrm{M},\mathrm{H}$ cùng thuộc một đường tròn.

b) Ta có bốn điểm A,B,M,C cùng nằm trên đường tròn (O;R) nên tứ giác ABMC nội tiếp đường tròn, suy ra $\widehat{\mathrm{ACM}}+\widehat{\mathrm{ABM}}=180°$ (tổng hai góc đối của tứ giác nội tiếp).

Mà $\widehat{\mathrm{ACM}}+\widehat{\mathrm{MCD}}=180°$ (kề bù) nên $\widehat{\mathrm{ABM}}=\widehat{\mathrm{MCD}}$ hay $\widehat{\mathrm{DBA}}=\widehat{\mathrm{DCM}}.$

$\widehat{\mathrm{CAM}},\widehat{\mathrm{CBM}}$ là các góc nội tiếp chắn cung CM suy ra $\widehat{\mathrm{CAM}}=\widehat{\mathrm{CBM}}$ hay $\widehat{\mathrm{DAM}}=\widehat{\mathrm{DBC}}$

Xét $\mathrm{\Delta DCM}$ và $\mathrm{\Delta DBA}$ có: $\widehat{\mathrm{ADB}}$ là góc chung và $\widehat{\mathrm{DCM}}=\widehat{\mathrm{DBA}}$ (chứng minh trên)

Do đó $\mathrm{\Delta DCM}\backsim \mathrm{\Delta DBA}$ (g.g).

c) Xét đường tròn (O;R) có $\widehat{\mathrm{CAM}},\widehat{\mathrm{COM}}$ lần lượt là góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung CM nên $\widehat{\mathrm{COM}}=2\widehat{\mathrm{CAM}}.$ (1)

Chứng minh tương tự câu a ta có bốn điểm $\mathrm{A},\mathrm{C},\mathrm{H},\mathrm{K}$ cùng thuộc một đường tròn hay tứ giác ACHK nội tiếp đường tròn, nên $\widehat{\mathrm{CAH}}=\widehat{\mathrm{CKH}}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung CH) hay $\widehat{\mathrm{CAM}}=\widehat{\mathrm{CKH}}$

Chứng minh tương tự, ta có $\widehat{\mathrm{CBM}}=\widehat{\mathrm{MKH}}$.

Lại có $\widehat{\mathrm{CAM}}=\widehat{\mathrm{CBM}}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung CM của đường tròn (O)) nên $\widehat{\mathrm{CKH}}=\widehat{\mathrm{MKH}}$ hay KH là tia phân giác của $\widehat{\mathrm{CKM}},$ suy ra $\widehat{\mathrm{CKM}}=2\widehat{\mathrm{CKH}}=2\widehat{\mathrm{CAM}}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{\mathrm{CKM}}=\widehat{\mathrm{COM}}.$

d) Ta có MP là tia phân giác của $\widehat{\mathrm{AMB}}$ nên $\widehat{\mathrm{AMP}}=\widehat{\mathrm{BMP}}=\frac{1}{2}\widehat{\mathrm{AMB}}=\frac{1}{2}\cdot 90°=45°.$

Gọi Q là giao điểm của MP với đường tròn (O;R) Khi đó $\widehat{\mathrm{AQB}}=90°$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) và $\widehat{\mathrm{ABQ}}=\widehat{\mathrm{AMQ}}=45°$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AQ của đường tròn (O))

Suy ra $\text{ΔQAB}$ vuông cân tại Q