Câu hỏi:
11/03/2025 252
(4,0 điểm)
2) Cho đường tròn (O) đường kính AB=2R. Lấy điểm C trên đường tròn (O) và lấy điểm M bất kì trên cung nhỏ BC (M không trùng với B,C). Gọi H là giao điểm của AM và BC. Đường thẳng AC cắt đường thẳng BM tại D. DH cắt AB tại K.
a) Chứng minh rằng bốn điểm cùng thuộc một đường tròn.
(4,0 điểm)
2) Cho đường tròn (O) đường kính AB=2R. Lấy điểm C trên đường tròn (O) và lấy điểm M bất kì trên cung nhỏ BC (M không trùng với B,C). Gọi H là giao điểm của AM và BC. Đường thẳng AC cắt đường thẳng BM tại D. DH cắt AB tại K.
a) Chứng minh rằng bốn điểm cùng thuộc một đường tròn.
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Xét đường tròn (O;R) có là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên hay suy ra hay tam giác DCH vuông tại C suy ra ba điểm D,C,H cùng thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác DCH có tâm là trung điểm của DH và bán kính bằng (đường tròn đường kính DH)
Chứng minh tương tự ta có ba điểm D,M,H cùng thuộc đường tròn đường kính DH.Vậy bốn điểm C,D,M,H cùng thuộc đường tròn đường kính DH
Câu hỏi cùng đoạn
Câu 2:
b) Chứng minh rằng đồng dạng với .
b) Chứng minh rằng đồng dạng với .
Lời giải của GV VietJack
b) Ta có bốn điểm A,B,M,C cùng nằm trên đường tròn (O;R) nên tứ giác ABMC nội tiếp đường tròn, suy ra (tổng hai góc đối của tứ giác nội tiếp).
Mà (kề bù) nên hay
là các góc nội tiếp chắn cung CM suy ra hay
Xét và có: là góc chung và (chứng minh trên)
Do đó (g.g).
Câu 3:
c) Chứng minh rằng .
c) Chứng minh rằng .
Lời giải của GV VietJack
c) Xét đường tròn (O;R) có lần lượt là góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung CM nên (1)
Chứng minh tương tự câu a ta có bốn điểm cùng thuộc một đường tròn hay tứ giác ACHK nội tiếp đường tròn, nên (hai góc nội tiếp cùng chắn cung CH) hay
Chứng minh tương tự, ta có .
Lại có (hai góc nội tiếp cùng chắn cung CM của đường tròn (O)) nên hay KH là tia phân giác của suy ra (2)
Từ (1) và (2) suy ra
Câu 4:
d) Kẻ phân giác góc \(AMB\) cắt \(AB\) tại \(P\). Tìm vị trí của \(M\) thỏa mãn đề bài để \(\frac{{MP}}{{MA + MB}}\) đạt giá trị lớn nhất.
Lời giải của GV VietJack
d) Ta có MP là tia phân giác của nên
Gọi Q là giao điểm của MP với đường tròn (O;R) Khi đó (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) và (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AQ của đường tròn (O))
Suy ra vuông cân tại Q
Do đó hay nênXét và có: (chứng minh trên) và (đối đỉnh)
Do đó (g.g). Suy ra hay
Tương tự (g.g), suy ra
Do đó (do vì vuông cân tại Q.)
¬ Chứng minh bất đẳng thức bổ đề: Với \(x > 0,\,\,y > 0\) ta luôn có \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \ge \frac{4}{{x + y}}.\)
Thật vậy, với \(x > 0,\,\,y > 0\) ta có: \({\left( {x - y} \right)^2} \ge 0\)
\({x^2} - 2xy + {y^2} \ge 0\)
\({x^2} + 2xy + {y^2} \ge 4xy\)
\(\frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{{xy\left( {x + y} \right)}} \ge \frac{{4xy}}{{xy\left( {x + y} \right)}}\)
\(\frac{{x + y}}{{xy}} \ge \frac{4}{{x + y}}\)
\[\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \ge \frac{4}{{x + y}}\].
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \({\left( {x - y} \right)^2} = 0\) hay \(x = y.\) Bất đẳng thức trên đã được chứng minh.
Áp dụng bất đẳng thức trên, ta có: \(\frac{1}{{MA}} + \frac{1}{{MB}} \ge \frac{4}{{MA + MB}}\)
Hay \(\frac{{MP}}{{MA + MB}} \le MP \cdot \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{{MA}} + \frac{1}{{MB}}} \right) = \frac{1}{4} \cdot \left( {\frac{{MP}}{{MA}} + \frac{{MP}}{{MB}}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{4}.\)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(MA = MB.\)
Vậy giá trị lớn nhất của \(\frac{{MP}}{{MA + MB}}\) là \(\frac{{\sqrt 2 }}{4}\) khi \(MA\, = \,MB\) hay \(M\) là điểm chính giữa cung \(AB.\)
Nhà sách vietjack
Hot: 500+ Đề thi vào 10 file word các Sở Hà Nội, TP Hồ Chí Minh có đáp án 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay
Bình luận
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
(2,5 điểm)
3) Cho đường thẳng . Tìm m để (d) cắt Ox tại A, cắt Oy tại B mà .
Xem đáp án »
12/03/2025
628
Câu 2:
(2,5 điểm)
1) Trong kỳ thi môn toán lớp 9, một phòng thi của trường có 24 thí sinh dự thi. Các thí sinh đều phải làm bài trên giấy thi của trường phát cho. Cuối buổi thi, sau khi thu bài, giám thị coi thi đếm được tổng số tờ là 42 tờ giấy thi. Hỏi trong phòng thi đó có bao nhiêu thí sinh làm bài 1 tờ giấy thi, bao nhiêu thí sinh làm bài 2 tờ giấy thi? Biết rằng có 3 thí sinh làm 3 tờ giấy thi.
(2,5 điểm)
1) Trong kỳ thi môn toán lớp 9, một phòng thi của trường có 24 thí sinh dự thi. Các thí sinh đều phải làm bài trên giấy thi của trường phát cho. Cuối buổi thi, sau khi thu bài, giám thị coi thi đếm được tổng số tờ là 42 tờ giấy thi. Hỏi trong phòng thi đó có bao nhiêu thí sinh làm bài 1 tờ giấy thi, bao nhiêu thí sinh làm bài 2 tờ giấy thi? Biết rằng có 3 thí sinh làm 3 tờ giấy thi.
Xem đáp án »
11/03/2025
252
Câu 4:
(0,5 điểm) Trong một xưởng cơ khí đang có sẵn những thanh thép dài \(7,4\,\,{\rm{m}}{\rm{.}}\) Một công trình xây dựng đang cần có \(1\,\,000\) đoạn thép dài \(0,7\,\,{\rm{m}}\) và \(2\,\,000\) đoạn thép dài \(0,5\,\,{\rm{m}}\) (cùng kích cỡ với thép \(7,4\,\,{\rm{m)}}{\rm{.}}\) Em hãy tìm xem cần dùng bao nhiêu thanh thép \(7,4\,\,{\rm{m}}\) để thoả mãn yêu cần trên với chi phí tiết kiệm nhất.
(0,5 điểm) Trong một xưởng cơ khí đang có sẵn những thanh thép dài \(7,4\,\,{\rm{m}}{\rm{.}}\) Một công trình xây dựng đang cần có \(1\,\,000\) đoạn thép dài \(0,7\,\,{\rm{m}}\) và \(2\,\,000\) đoạn thép dài \(0,5\,\,{\rm{m}}\) (cùng kích cỡ với thép \(7,4\,\,{\rm{m)}}{\rm{.}}\) Em hãy tìm xem cần dùng bao nhiêu thanh thép \(7,4\,\,{\rm{m}}\) để thoả mãn yêu cần trên với chi phí tiết kiệm nhất.
Xem đáp án »
12/03/2025
215
Câu 5:
(1,5 điểm)
1) Biểu đồ sau cho biết số lượng các loại ô tô một cửa hàng bán được trong năm 2023:
a) Lập bảng tần số cho dữ liệu được biểu diễn trên biểu đồ.
b) Giả sử tỉ lệ các loại xe bán được không đổi và cửa hàng bán được tổng số 240 ô tô các loại trong năm 2023. Hãy ước lượng số ô tô 4 chỗ cửa hàng bán được.
2) Gieo một con xúc xắc đồng chất 100 lần và ghi lại kết quả trong bảng sau:
Xét biến cố A “Số chấm xuất hiện trên mặt xúc xắc là số lẻ chia hết cho A”. Tính xác suất của biến cố A
Xem đáp án »
11/03/2025
178
Câu 6:
(4,0 điểm)
1) Cho tam giác ABC đều có cạnh AB = 3cm nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R. Hạ AH vuông góc với BC. Tính diện tích phần nằm trong hình tròn (O;R) và nằm ngoài tam giác ABC (phần tô đậm trong hình bên).
(4,0 điểm)
1) Cho tam giác ABC đều có cạnh AB = 3cm nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R. Hạ AH vuông góc với BC. Tính diện tích phần nằm trong hình tròn (O;R) và nằm ngoài tam giác ABC (phần tô đậm trong hình bên).
Xem đáp án »
12/03/2025
176
🔥 Đề thi HOT:
-
Bộ 10 đề thi cuối kì 1 Toán 9 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 01
-
Dạng 5: Bài toán về lãi suất ngân hàng có đáp án
-
Dạng 2: Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán cực trị xảy ra ở biên có đáp án
-
Bộ 5 đề thi giữa kì 2 Toán 9 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 01
-
15 câu Trắc nghiệm Toán 9 Kết nối tri thức Bài 1. Khái niệm phương trình và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có đáp án
-
Dạng 6: Bài toán về tăng giá, giảm giá và tăng, giảm dân số có đáp án
-
Bộ 10 đề thi cuối kì 2 Toán 9 Chân trời sáng tạo có đáp án (Đề số 1)
-
Bộ 5 đề thi giữa kì 2 Toán 9 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 03
Hãy Đăng nhập hoặc Tạo tài khoản để gửi bình luận
-
-
Bình luận