(0,5 điểm) Trong một xưởng cơ khí đang có sẵn những thanh thép dài \(7,4\,\,{\rm{m}}{\rm{.}}\) Một công trình xây dựng đang cần có \(1\,\,000\) đoạn thép dài \(0,7\,\,{\rm{m}}\) và \(2\,\,000\) đoạn thép dài \(0,5\,\,{\rm{m}}\) (cùng kích cỡ với thép \(7,4\,\,{\rm{m)}}{\rm{.}}\) Em hãy tìm xem cần dùng bao nhiêu thanh thép \(7,4\,\,{\rm{m}}\) để thoả mãn yêu cần trên với chi phí tiết kiệm nhất.

Hướng dẫn giải

Gọi \(a,\,\,b\) lần lượt là số thanh có độ dài là \(0,7\,{\rm{m}}\) và \(0,5\,{\rm{m}}\) được cắt nhỏ từ thanh sắt dài \(7,4\,{\rm{m}}\) \(\left( {a \in \mathbb{N},\,\,b \in \mathbb{N}} \right).\)

Khi đó, ta có phương trình \(0,7a + 0,5b = 7,4\) hay \(7a + 5b = 74.\)

Suy ra \(b = \frac{{74 - 7a}}{5} = 15 - a - \frac{{1 + 2a}}{5}.\)

Vì \(b \in \mathbb{N}\) nên \(\left( {1 + 2a} \right)\,\, \vdots \,\,5\) hay \(\left( {1 + 2a} \right) \in \left\{ {0;\,\,5;\,\,10;\,\,15;\,\,20;\,\,25;\,\,...} \right\}\)

Mà \(1 + 2a\) là số lẻ nên \(\left( {1 + 2a} \right) \in \left\{ {5;\,\,15;\,\,25;\,\,...} \right\}\) suy ra \(a \in \left\{ {2;\,\,7;\,\,12;\,\,...} \right\}\)

Lại có \(74 = 7a + 5b \ge 7a\) nên \(a \le \frac{{74}}{7}.\) Suy ra \(0 \le a \le 10\) nên \(a \in \left\{ {2;\,\,7} \right\}.\)

Với \[a = 2,\] ta có \[b = 12\] (thỏa mãn).

Với \(a = 7,\) ta có \(b = 5\) (thỏa mãn).

Như vậy, có 2 cách cắt mỗi thanh sắt dài \(7,4\,{\rm{m}}\) thành các thanh có độ dài là \(0,7\,{\rm{m}}\) và \(0,5\,{\rm{m}}{\rm{.}}\)

Cách 1: Cắt thanh sắt dài \(7,4\,{\rm{m}}\) thành 2 thanh \(0,7\,{\rm{m}}\) và 12 thanh \(0,5\,{\rm{m}}{\rm{.}}\)

Cách 2: Cắt thanh sắt dài \(7,4\,{\rm{m}}\) thành 7 thanh dài \(0,7\,{\rm{m}}\) và 5 thanh dài \(0,5\,{\rm{m}}{\rm{.}}\)

⦁ Theo đề bài cần cắt \(1000\) đoạn dài \(0,7\,{\rm{m}}\) và \(2000\) đoạn dài \(0,5\,{\rm{m}}{\rm{.}}\)

Do đó, nếu cắt theo cách 1 cần \(500\) cây sắt dài \(7,4\,{\rm{m}}\) khi đó thừa \(\left( {500:2} \right) \cdot 12 - 2000 = 1000\) đoạn \(0,5\,{\rm{m}}\) lãng phí.

Nếu cắt theo cách 2 thì cần \(400\) cây sắt dài \(7,4\,{\rm{m}}\) khi đó thừa \(\left( {2000:5} \right) \cdot 7 - 1000 = 1800\) đoạn dài \(0,7\,{\rm{m}}\) lãng phí.

Do vậy để tiết kiệm ta sẽ dùng cả 2 cách cắt trên.

⦁ Gọi \(x\) là số cây sắt dài \(7,4\,{\rm{m}}\) dùng để cắt theo cách 1, \(y\) là số cây sắt dài \(7,4\,{\rm{m}}\) dùng để cắt theo cách 2 \((x,\,y\) là các số tự nhiên khác 0)

Số đoạn sắt dài \(0,7\,{\rm{m}}\) là: \(2x + 7y\) đoạn.

Số đoạn sắt dài \(0,5\,{\rm{m}}\) là \(12x + 5y\) đoạn.

Vì cần \(1000\) đoạn dài \(0,7\,{\rm{m}}\) và \(2000\) đoạn \(0,5\,{\rm{m}}\) nên ta có hệ phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}2x + 7y = 1000\\12x + 5y = 2000\end{array} \right.\]

Giải hệ phương trình trên, ta được \(x \approx 121,6\) và \(y \approx 108,1.\)

Ta lấy \(x = 121\) và \(y = 108\) thì sẽ cắt được tổng là \(2 \cdot 121 + 7 \cdot 108 = 998\) đoạn \(0,7\,{\rm{m}}\) và \[12 \cdot 121 + 5 \cdot 108 = 1992\] đoạn \(0,5\,{\rm{m}}.\)

Ta chỉ cần cắt thêm 1 thanh theo cách 1 (thêm 2 thanh \(0,7\,{\rm{m}}\) và 12 thanh \(0,5\,{\rm{m),}}\) tức là đã dùng \(121 + 108 + 1 = 230\) thanh sắt \(7,4\,{\rm{m}}.\)

Điều quan trọng lúc này chúng ta cần chỉ ra rằng cách này là tiết kiệm nhất.

Thật vậy, ta thấy tổng số độ dài của \(1000\) đoạn \(0,7{\rm{\;m}}\) và \(2000\) đoạn \(0,5\,{\rm{m}}\) là:

\(1000 \cdot 0,7 + 2000 \cdot 0,5 = 1\,\,700{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\)

Như vậy, phải dùng ít nhất là \(1700:7,4 \approx 229,7 \approx 230\) thanh sắt \(7,4\,{\rm{m}}.\)

Vậy cần cắt 122 thanh theo cách 1 và 108 thanh theo cách 2 thì thỏa mãn yêu cầu đề bài.