Câu 15-16: (2,0 điểm) Cho nửa đường tròn \(O\) đường kính \(AB.\) Qua điểm \(C\) thuộc nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến \(d\) với nửa đường tròn. Từ điểm \(A\) và \(B\) kẻ các đường thẳng vuông góc với  đường thẳng \(d\) và cắt đường thẳng \(d\) lần lượt tại \(M\) và \(N.\) Từ \(C\) hạ \(CH\) vuông góc với \(AB\) tại \(H.\)

Cho nửa đường tròn $O$ đường kính $AB.$ Qua điểm $C$ thuộc nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến $d$ với nửa đường tròn. Từ điểm $A$ và $B$ kẻ các đường thẳng vuông góc với  đường thẳng $d$ và cắt đường thẳng $d$ lần lượt tại $M$ và $N.$ Từ $C$ hạ $CH$ vuông góc với $AB$ tại $H.$

⦁ Vì điểm \(C\) thuộc nửa đường tròn \(\left( O \right)\) nên \(\widehat {ACB} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Do đó \(\widehat {ACH} + \widehat {HCB} = 90^\circ .\)

Xét \(\Delta CHB\) vuông tại \(H,\) ta có: \(\widehat {HBC} + \widehat {HCB} = 90^\circ \) (tổng hai góc nhọn của tam giác vuông).

Suy ra \(\widehat {ACH} = \widehat {HBC}.\)

Xét \(\Delta AHC\) và \(\Delta CHB\) có: \(\widehat {AHC} = \widehat {CHB} = 90^\circ \) và \(\widehat {ACH} = \widehat {CBH}.\)

Do đó  (g.g). Suy ra \(\frac{{CH}}{{BH}} = \frac{{AH}}{{CH}}\) hay \(C{H^2} = AH \cdot BH.\)

⦁ Xét \(\Delta OAC\) cân tại \(O\) (do \(OA = OC)\) nên \(\widehat {ACO} = \widehat {CAO} = \frac{{180^\circ - \widehat {AOC}}}{2} = 90^\circ - \frac{1}{2}\widehat {AOC}\).

Lại có \(\widehat {AOC},\,\,\widehat {ABC}\) lần lượt là góc ở tâm, góc nội tiếp cùng chắn cung \(AC\) của nửa đường tròn \(\left( O \right)\) nên \(\widehat {AOC} = 2\widehat {ABC}\) hay \(\widehat {ABC} = \frac{1}{2}\widehat {AOC}.\)

Do đó \(\widehat {ACO} = 90^\circ - \widehat {ABC}\) suy ra \(\widehat {ABC} = 90^\circ - \widehat {ACO}.\)

Vì \(d\) là tiếp tuyến của nửa đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(C\) nên \(OM \bot d\) tại \(C\)

Suy ra \(\widehat {ACM} + \widehat {ACO} = \widehat {MCO} = 90^\circ \) hay \(\widehat {ACM} = 90^\circ - \widehat {ACO}.\)

Do đó \(\widehat {ABC} = \widehat {ACM}.\) Mà \(\widehat {ACH} = \widehat {ABC}\) (chứng minh trên) nên \(\widehat {ACM} = \widehat {ACH}.\)

Xét \(\Delta ACM\) và \(\Delta ACH\) có: \(\widehat {AMC} = \widehat {AHC} = 90^\circ ,\) \(AC\) là cạnh chung và \(\widehat {ACM} = \widehat {ACH}.\)

Do đó \(\Delta ACM = \Delta ACH\) (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra \(AM = AH\) (hai cạnh tương ứng).

Chứng minh tương tự, ta có \(\Delta BCN = \Delta BCH\) (cạnh huyền – góc nhọn) nên \(BN = BH\) (hai cạnh tương ứng).

Khi đó, \(AM \cdot BN = AH \cdot BH = C{H^2}.\)

Mà \(CH \le CO\) nên \(AM \cdot BN \le C{O^2}.\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(CH = CO,\) tức là điểm \(H\) trùng điểm \(O,\) khi đó ta có \(CO \bot AB\) tại \(O\) nên điểm \(C\) là điểm chính giữa nửa đường tròn \(\left( O \right).\)

Vậy khi điểm \(C\) là điểm chính giữa nửa đường tròn \(\left( O \right)\) thì \(AM \cdot BN\) đạt giá trị lớn nhất.