Câu 3-5 :(1,5 điểm) 

Cho hai biểu thức: $\mathrm{A}=\frac{\sqrt{\mathrm{x}}+6}{\sqrt{\mathrm{x}}}$ và $\mathrm{B}=\frac{4-6\sqrt{\mathrm{x}}}{\mathrm{x}-4}+\frac{2}{\sqrt{\mathrm{x}}+2}-\frac{\sqrt{\mathrm{x}}}{2-\sqrt{\mathrm{x}}}$ với $\mathrm{x}>0,\mathrm{x}\ne 4.$

1) Tính giá trị của biểu thức \[A\] khi \(x = 36.\)

Với \(x > 0,\,\,x \ne 4,\) ta có:

\(B = \frac{{4 - 6\sqrt x }}{{x - 4}} + \frac{2}{{\sqrt x + 2}} - \frac{{\sqrt x }}{{2 - \sqrt x }}\)

 \( = \frac{{4 - 6\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} + \frac{{2\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} + \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\)

 \( = \frac{{4 - 6\sqrt x + 2\left( {\sqrt x - 2} \right) + \sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\)

 \( = \frac{{4 - 6\sqrt x + 2\sqrt x - 4 + x + 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} = \frac{{x - 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\)

 \( = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\)\( = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}.\)

Vậy với \(x > 0,\,\,x \ne 4\) thì \(B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}.\)

Với \(x > 0,\,\,x \ne 4,\) ta có:

\(P = A \cdot B = \frac{{\sqrt x + 6}}{{\sqrt x }} \cdot \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} = \frac{{\sqrt x + 6}}{{\sqrt x + 2}} = \frac{{\sqrt x + 2 + 4}}{{\sqrt x + 2}} = 1 + \frac{4}{{\sqrt x + 2}}.\)

Với \(x > 0,\,\,x \ne 4,\,\,x \in \mathbb{Z}\) ta có: \(x \ge 1\) suy ra \(\sqrt x \ge 1\) nên \(\sqrt x + 2 \ge 3\)

Do đó \(\frac{4}{{\sqrt x + 2}} \le \frac{4}{3}\) suy ra \(P \le \frac{7}{3}.\)

Dấu “=” xảy ra khi \(x = 1\) (thỏa mãn điều kiện).

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức \(P\) là \(\frac{7}{3}\) khi \(x = 1\).