(0,5 điểm) Từ hình vuông có cạnh bằng 60 cm bạn Châu cắt bỏ các tam giác vuông cân tạo thành hình tô đậm như hình vẽ. Sau đó bạn Châu gập thành hộp để đồ có dạng hình hộp chữ nhật không nắp. Tìm \(x\) để thể tích của khối hộp lớn nhất.

Suy ra \(MN = AB - AM - BN = 60 - 2x{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\)

Xét \[\Delta EMN\] vuông cân tại \(E\) ta có: \(E{M^2} + E{N^2} = M{N^2}\) (Định lý Pythagore).

Suy ra \(2E{N^2} = M{N^2}\) nên \(E{N^2} = \frac{{M{N^2}}}{2} = \frac{{{{\left( {60 - 2x} \right)}^2}}}{2},\) do đó \(EN = \frac{{60 - 2x}}{{\sqrt 2 }}{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\)

Xét \(\Delta BNF\) vuông cân tại \(B\) ta có: \(N{F^2} = B{N^2} + B{F^2}\) (Định lý Pythagore).

Suy ra \(N{F^2} = {x^2} + {x^2} = 2{x^2}\) nên \(NF = x\sqrt 2 {\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\)

Hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông cạnh \(NF = x\sqrt 2 {\rm{\;(cm)}}\) và chiều cao \(EN = \frac{{60 - 2x}}{{\sqrt 2 }}{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\)

Suy ra thể tích của hình hộp chữ nhật là:

\(V = N{F^2} \cdot EN = 2{x^2} \cdot \frac{{60 - 2x}}{{\sqrt 2 }} = 2 \cdot x \cdot x \cdot \frac{{60 - 2x}}{{\sqrt 2 }} = \sqrt 2 \cdot x \cdot x \cdot \left( {60 - 2x} \right){\rm{\;(c}}{{\rm{m}}^3}{\rm{)}}{\rm{.}}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương ta có:

\(x \cdot x \cdot \left( {60 - 2x} \right) \le {\left( {\frac{{x + x + 60 - 2x}}{3}} \right)^3} = 8\,\,000.\)

Suy ra \(V = \sqrt 2 \cdot x \cdot x \cdot \left( {60 - 2x} \right) \le {\rm{8}}\,\,{\rm{000}}\sqrt 2 {\rm{\;(c}}{{\rm{m}}^3}{\rm{)}}{\rm{.}}\)

Dấu bằng xảy ra khi \(x = 60 - 2x,\) hay \(x = 20\) (thỏa mãn).

Vậy thể tích của hình hộp lớn nhất bằng \(V = 8\,\,000\sqrt 2 {\rm{\;(c}}{{\rm{m}}^3}{\rm{)}}\) khi \(x = 20\;\;{\rm{cm}}{\rm{.}}\)