(0,5 điểm) Từ hình vuông có cạnh bằng 60 cm bạn Châu cắt bỏ các tam giác vuông cân tạo thành hình tô đậm như hình vẽ. Sau đó bạn Châu gập thành hộp để đồ có dạng hình hộp chữ nhật không nắp. Tìm $x$ để thể tích của khối hộp lớn nhất.

$Tìm $x$ để thể tích của khối hộp lớn nhất. (ảnh 1)$

Câu hỏi trong đề: Đề thi thử TS vào 10 (Lần 4 - Tháng 2) năm học 2025 - 2026_Môn Toán_Phòng GD&ĐT Huyện Chương Mỹ_TP. Hà Nội !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Hướng dẫn giải

Ta có: $AM = BN = x{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}$

Suy ra $MN = AB - AM - BN = 60 - 2x{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}$

Xét \[\Delta EMN\] vuông cân tại $E$ ta có: $E{M^2} + E{N^2} = M{N^2}$ (Định lý Pythagore).

Suy ra $2E{N^2} = M{N^2}$ nên $E{N^2} = \frac{{M{N^2}}}{2} = \frac{{{{\left( {60 - 2x} \right)}^2}}}{2},$ do đó $EN = \frac{{60 - 2x}}{{\sqrt 2 }}{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}$

Xét $\Delta BNF$ vuông cân tại $B$ ta có: $N{F^2} = B{N^2} + B{F^2}$ (Định lý Pythagore).

Suy ra $N{F^2} = {x^2} + {x^2} = 2{x^2}$ nên $NF = x\sqrt 2 {\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}$

Hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông cạnh $NF = x\sqrt 2 {\rm{\;(cm)}}$ và chiều cao $EN = \frac{{60 - 2x}}{{\sqrt 2 }}{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}$

Suy ra thể tích của hình hộp chữ nhật là:

$V = N{F^2} \cdot EN = 2{x^2} \cdot \frac{{60 - 2x}}{{\sqrt 2 }} = 2 \cdot x \cdot x \cdot \frac{{60 - 2x}}{{\sqrt 2 }} = \sqrt 2 \cdot x \cdot x \cdot \left( {60 - 2x} \right){\rm{\;(c}}{{\rm{m}}^3}{\rm{)}}{\rm{.}}$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương ta có:

$x \cdot x \cdot \left( {60 - 2x} \right) \le {\left( {\frac{{x + x + 60 - 2x}}{3}} \right)^3} = 8\,\,000.$

Suy ra $V = \sqrt 2 \cdot x \cdot x \cdot \left( {60 - 2x} \right) \le {\rm{8}}\,\,{\rm{000}}\sqrt 2 {\rm{\;(c}}{{\rm{m}}^3}{\rm{)}}{\rm{.}}$

Dấu bằng xảy ra khi $x = 60 - 2x,$ hay $x = 20$ (thỏa mãn).

Vậy thể tích của hình hộp lớn nhất bằng $V = 8\,\,000\sqrt 2 {\rm{\;(c}}{{\rm{m}}^3}{\rm{)}}$ khi $x = 20\;\;{\rm{cm}}{\rm{.}}$

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

1) Nhân dịp Tết nguyên đán Ất Tỵ, gia đình bạn Minh có sử dụng dịch vụ taxi của hãng VinFast (Xanh SM) để đi du xuân. Bảng giá cước taxi tại Hà Nội như sau:

Giá mở cửa (Giá km đầu tiên) Giá từ km thứ 2 đến 25 Giá từ km thứ 26 trở đi

20 000 đ 15 500 đ 12 500 đ

Số tiền gia đình phải trả cho dịch vụ Taxi là 504 500 đồng. Hỏi quãng đường di chuyển của gia đình bạn Minh là bao nhiêu km?

Xem đáp án

Lời giải

Số tiền phải trả cho dịch vụ Taxi khi đi hết quãng đường 25 km đầu tiên là:

\[20\,\,000 + \left( {25 - 1} \right) \cdot 15\,\,500 = 392\,\,000\] (đồng).

Vì số tiền gia đình bạn Minh phải trả lớn hơn 392 000 đồng nên quãng đường di chuyển của gia đình lớn hơn 25 km.

Số tiền gia đình bạn Minh phải trả khi di chuyển từ km thứ 26 trở đi là:

\[504\,\,500 - 392\,\,000 = 112\,\,500\] (đồng).

Số km thứ 26 trở đi là: $112\,\,500:12\,\,500 = 9$ (km).

Vậy quãng đường đi chuyển của gia đình bạn Minh là: $25 + 9 = 34$ (km).

Câu 2

1) Trong đợt thi đua thu gom kế hoạch nhỏ do Liên đội phát động dịp tết Ất Tỵ 2025, số vỏ lon các lớp khối 9 của một trường THCS được biểu diễn trên biểu đồ:

a) Tính tổng số vỏ lon khối 9 đã thu gom được.

b) Tính tỉ số phần trăm số vỏ lon thu gom được của lớp 9B so với số vỏ lon thu gom được của cả khối 9 (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

Xem đáp án

Lời giải

a) Tổng số vỏ lon khối 9 đã thu gom được là:

$274 + 280 + 370 + 516 = 1\,\,440$ (vỏ lon).

b) Tỉ số phần trăm số vỏ lon thu gom được của lớp 9B so với số vỏ lon thu gom được của cả khối 9 là: $\frac{{280 \cdot 100}}{{1440}}\% \approx 19,44\% $.

Câu 3