Câu 3-5 :(1,5 điểm) 

Cho hai biểu thức: $\mathrm{A}=\frac{\sqrt{\mathrm{x}}+6}{\sqrt{\mathrm{x}}}$ và $\mathrm{B}=\frac{4-6\sqrt{\mathrm{x}}}{\mathrm{x}-4}+\frac{2}{\sqrt{\mathrm{x}}+2}-\frac{\sqrt{\mathrm{x}}}{2-\sqrt{\mathrm{x}}}$ với $\mathrm{x}>0,\mathrm{x}\ne 4.$

1) Tính giá trị của biểu thức $A$ khi $x = 36.$

Với $x > 0,\,\,x \ne 4,$ ta có:

$B = \frac{{4 - 6\sqrt x }}{{x - 4}} + \frac{2}{{\sqrt x + 2}} - \frac{{\sqrt x }}{{2 - \sqrt x }}$

 $= \frac{{4 - 6\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} + \frac{{2\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} + \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}$

 $= \frac{{4 - 6\sqrt x + 2\left( {\sqrt x - 2} \right) + \sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}$

 $= \frac{{4 - 6\sqrt x + 2\sqrt x - 4 + x + 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} = \frac{{x - 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}$

 $= \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}$$= \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}.$

Vậy với $x > 0,\,\,x \ne 4$ thì $B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}.$

Với $x > 0,\,\,x \ne 4,$ ta có:

$P = A \cdot B = \frac{{\sqrt x + 6}}{{\sqrt x }} \cdot \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} = \frac{{\sqrt x + 6}}{{\sqrt x + 2}} = \frac{{\sqrt x + 2 + 4}}{{\sqrt x + 2}} = 1 + \frac{4}{{\sqrt x + 2}}.$

Với $x > 0,\,\,x \ne 4,\,\,x \in \mathbb{Z}$ ta có: $x \ge 1$ suy ra $\sqrt x \ge 1$ nên $\sqrt x + 2 \ge 3$

Do đó $\frac{4}{{\sqrt x + 2}} \le \frac{4}{3}$ suy ra $P \le \frac{7}{3}.$

Dấu “=” xảy ra khi $x = 1$ (thỏa mãn điều kiện).

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức $P$ là $\frac{7}{3}$ khi $x = 1$.