Câu hỏi:
12/03/2025 339
Câu 18-20: (2,5 điểm) Cho tam giác \[ABC\] nhọn \[\left( {AB < AC} \right)\] nội tiếp đường tròn \[\left( O \right)\] và có hai đường cao \[BE,\,\,CF\] cắt nhau tại \[H.\] \[AH\] cắt \[\left( O \right)\] tại \[K\] khác \[A,\,\,KE\] cắt \[\left( O \right)\] tại \[M\] khác \[K,\,\,BM\] cắt \[EF\] tại \[N.\]
1) Chứng minh tứ giác \[BCEF\] nội tiếp.
Câu 18-20: (2,5 điểm) Cho tam giác \[ABC\] nhọn \[\left( {AB < AC} \right)\] nội tiếp đường tròn \[\left( O \right)\] và có hai đường cao \[BE,\,\,CF\] cắt nhau tại \[H.\] \[AH\] cắt \[\left( O \right)\] tại \[K\] khác \[A,\,\,KE\] cắt \[\left( O \right)\] tại \[M\] khác \[K,\,\,BM\] cắt \[EF\] tại \[N.\]
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa... kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 70k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
![1) Chứng minh tứ giác \[BCEF\] nội tiếp. (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/03/25-1741751824.png)
Do \(\Delta BCE\) vuông tại \(E\) nên đường tròn ngoại tiếp tam giác này có tâm là trung điểm của \(BC.\)
Do \(\Delta BCF\) vuông tại \(F\) nên đường tròn ngoại tiếp tam giác này có tâm là trung điểm của \(BC.\)
Như vậy đường tròn đường kính \(BC\) đi qua các điểm \(B,\,\,C,\,\,E,\,\,F.\)
Vậy tứ giác \[BCEF\] nội tiếp đường tròn đường kính \[BC.\]
Câu hỏi cùng đoạn
Câu 2:
2) Chứng minh \[BM \cdot BN = B{E^2}.\]
Lời giải của GV VietJack
Chứng minh tương tự câu 1), ta có tứ giác \(AEHF\) nội tiếp đường tròn đường kính \(AH.\)
Suy ra \(\widehat {FAH} = \widehat {FEH}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(FH).\)
Xét đường tròn \(\left( O \right)\) có \(\widehat {BAK} = \widehat {BMK}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(BK)\)
Suy ra \(\widehat {NEB} = \widehat {EMB}\).
Xét \(\Delta BNE\) và \(\Delta BEM\) có:
\(\widehat {MBE}\) là góc chung và \(\widehat {NEB} = \widehat {EMB}\)
Do đó (g.g). Suy ra \(\frac{{BN}}{{BE}} = \frac{{BE}}{{BM}}\) hay \[BM \cdot BN = B{E^2}.\] (1)
Câu 3:
3) Chứng minh \[N\] là trung điểm của \[EF.\]
Lời giải của GV VietJack
Kẻ \(EP \bot AB.\)
Xét \(\Delta BEP\) và \(\Delta BAE\) có:
\(\widehat {BPE} = \widehat {BEA} = 90^\circ \) và \(\widehat {ABE}\) là góc chung
Do đó (g.g). Suy ra \(\frac{{BE}}{{BA}} = \frac{{BP}}{{BE}}\) hay \(B{E^2} = BA \cdot BP.\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(BM \cdot BN = BA \cdot BP\) nên \(\frac{{BM}}{{BA}} = \frac{{BP}}{{BN}}.\)
Xét \(\Delta BPN\) và \(\Delta BMA\) có:
\(\widehat {ABM}\) là góc chung và \(\frac{{BM}}{{BA}} = \frac{{BP}}{{BN}}.\)
Do đó (c.g.c). Suy ra \(\widehat {BPN} = \widehat {BMA}\) (hai góc tương ứng). (3)
Xét đường tròn \(\left( O \right)\) có \(\widehat {BMA} = \widehat {BCA}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(BA).\) (4)
Mặt khác, \(\widehat {BCE} + \widehat {BFE} = 180^\circ \) (hai góc đối nhau của tứ giác \(BCEF\) nội tiếp).
Mà \(\widehat {AFE} + \widehat {BFE} = 180^\circ \) (hai góc kề bù) nên \(\widehat {BCE} = \widehat {AFE}\) hay \(\widehat {BCA} = \widehat {AFE}.\) (5)
Từ (3), (4) và (5) suy ra \(\widehat {BPN} = \widehat {AFE}.\)
Xét \(\Delta NPF\) có \(\widehat {FPN} = \widehat {PFN}\) nên \(\Delta NPF\) cân tại \(N,\) suy ra \(NF = NP.\) (6)
Ta có \(\widehat {FPN} + \widehat {NPE} = \widehat {FPE} = 90^\circ \) và \(\widehat {PFN} + \widehat {PEN} = 90^\circ \) (tổng hai góc nhọn trong \(\Delta PEF\) vuông tại \(P)\)
Suy ra \(\widehat {NPE} = \widehat {NEP},\) do đó \(\Delta NPE\) cân tại \(N,\) nên \(NE = NP.\) (7)
Từ (6) và (7) suy ra \(NF = NE\) hay \(N\) là trung điểm của \(EF.\)
Nhà sách VIETJACK:
Bình luận
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Một chiếc hộp kín có chứa các viên bi gồm 2 viên màu đỏ, 1 viên màu vàng và 1 viên màu xanh. Các viên bi có kích thước như nhau. Chọn ngẫu nhiên đồng thời 2 viên bi từ hộp. Xác suất của biến cố “Hai viên bi lấy ra cùng màu” là
Xem đáp án »
12/03/2025
248
Câu 2:
1) Rút gọn biểu thức \[P = \frac{2}{{\sqrt x - 1}} - \frac{{\sqrt x + 5}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\] với \[x \ge 0;\,\,x \ne 1.\]
Xem đáp án »
12/03/2025
244
Câu 3:
Một chiếc mũ sinh nhật dạng hình nón được làm bằng giấy, có chu vi đáy là \[62,8{\rm{\;cm}}\] và đường sinh có độ dài \[30{\rm{\;cm}}.\] Giả sử diện tích phần mép nối không đáng kể. Diện tích giấy để làm nên chiếc mũ đó là
Xem đáp án »
12/03/2025
233
Câu 4:
Hình bên là một dao cắt công nghiệp có dạng hình vành khuyên. Đường kính của đường tròn ngoài là 200 mm, đường kính đường tròn trong là 122 mm. Diện tích hình vành khuyên là
Xem đáp án »
12/03/2025
202
Câu 5:
Cho parabol \[y = a{x^2}\] đi qua điểm \[A\left( {2;2} \right).\] Trong các điểm sau đây, điểm nào thuộc parabol đã cho?
Xem đáp án »
12/03/2025
187
Câu 6:
Số nghiệm của phương trình \[\left( {x - 5} \right)\left( {{x^2} + 1} \right) = 0\] là
Xem đáp án »
12/03/2025
185
🔥 Đề thi HOT:
-
Dạng 5: Bài toán về lãi suất ngân hàng có đáp án
-
Bộ 10 đề thi cuối kì 1 Toán 9 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 01
-
Dạng 2: Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán cực trị xảy ra ở biên có đáp án
-
Bộ 5 đề thi giữa kì 2 Toán 9 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 01
-
Dạng 6: Bài toán về tăng giá, giảm giá và tăng, giảm dân số có đáp án
-
Bộ 5 đề thi giữa kì 2 Toán 9 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 03
-
Bộ 5 đề thi giữa kì 2 Toán 9 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 02
-
15 câu Trắc nghiệm Toán 9 Kết nối tri thức Bài 1. Khái niệm phương trình và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có đáp án
Hãy Đăng nhập hoặc Tạo tài khoản để gửi bình luận
-
-
Bình luận