Câu hỏi:
12/03/2025 1,211
Câu 18-20: (2,5 điểm) Cho tam giác \[ABC\] nhọn \[\left( {AB < AC} \right)\] nội tiếp đường tròn \[\left( O \right)\] và có hai đường cao \[BE,\,\,CF\] cắt nhau tại \[H.\] \[AH\] cắt \[\left( O \right)\] tại \[K\] khác \[A,\,\,KE\] cắt \[\left( O \right)\] tại \[M\] khác \[K,\,\,BM\] cắt \[EF\] tại \[N.\]
1) Chứng minh tứ giác \[BCEF\] nội tiếp.
Câu 18-20: (2,5 điểm) Cho tam giác \[ABC\] nhọn \[\left( {AB < AC} \right)\] nội tiếp đường tròn \[\left( O \right)\] và có hai đường cao \[BE,\,\,CF\] cắt nhau tại \[H.\] \[AH\] cắt \[\left( O \right)\] tại \[K\] khác \[A,\,\,KE\] cắt \[\left( O \right)\] tại \[M\] khác \[K,\,\,BM\] cắt \[EF\] tại \[N.\]
Quảng cáo
Trả lời:
Do \(\Delta BCE\) vuông tại \(E\) nên đường tròn ngoại tiếp tam giác này có tâm là trung điểm của \(BC.\)
Do \(\Delta BCF\) vuông tại \(F\) nên đường tròn ngoại tiếp tam giác này có tâm là trung điểm của \(BC.\)
Như vậy đường tròn đường kính \(BC\) đi qua các điểm \(B,\,\,C,\,\,E,\,\,F.\)
Vậy tứ giác \[BCEF\] nội tiếp đường tròn đường kính \[BC.\]
Câu hỏi cùng đoạn
Câu 2:
2) Chứng minh \[BM \cdot BN = B{E^2}.\]
Lời giải của GV VietJack
Chứng minh tương tự câu 1), ta có tứ giác \(AEHF\) nội tiếp đường tròn đường kính \(AH.\)
Suy ra \(\widehat {FAH} = \widehat {FEH}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(FH).\)
Xét đường tròn \(\left( O \right)\) có \(\widehat {BAK} = \widehat {BMK}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(BK)\)
Suy ra \(\widehat {NEB} = \widehat {EMB}\).
Xét \(\Delta BNE\) và \(\Delta BEM\) có:
\(\widehat {MBE}\) là góc chung và \(\widehat {NEB} = \widehat {EMB}\)
Do đó (g.g). Suy ra \(\frac{{BN}}{{BE}} = \frac{{BE}}{{BM}}\) hay \[BM \cdot BN = B{E^2}.\] (1)
Câu 3:
3) Chứng minh \[N\] là trung điểm của \[EF.\]
Lời giải của GV VietJack
Kẻ \(EP \bot AB.\)
Xét \(\Delta BEP\) và \(\Delta BAE\) có:
\(\widehat {BPE} = \widehat {BEA} = 90^\circ \) và \(\widehat {ABE}\) là góc chung
Do đó (g.g). Suy ra \(\frac{{BE}}{{BA}} = \frac{{BP}}{{BE}}\) hay \(B{E^2} = BA \cdot BP.\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(BM \cdot BN = BA \cdot BP\) nên \(\frac{{BM}}{{BA}} = \frac{{BP}}{{BN}}.\)
Xét \(\Delta BPN\) và \(\Delta BMA\) có:
\(\widehat {ABM}\) là góc chung và \(\frac{{BM}}{{BA}} = \frac{{BP}}{{BN}}.\)
Do đó (c.g.c). Suy ra \(\widehat {BPN} = \widehat {BMA}\) (hai góc tương ứng). (3)
Xét đường tròn \(\left( O \right)\) có \(\widehat {BMA} = \widehat {BCA}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(BA).\) (4)
Mặt khác, \(\widehat {BCE} + \widehat {BFE} = 180^\circ \) (hai góc đối nhau của tứ giác \(BCEF\) nội tiếp).
Mà \(\widehat {AFE} + \widehat {BFE} = 180^\circ \) (hai góc kề bù) nên \(\widehat {BCE} = \widehat {AFE}\) hay \(\widehat {BCA} = \widehat {AFE}.\) (5)
Từ (3), (4) và (5) suy ra \(\widehat {BPN} = \widehat {AFE}.\)
Xét \(\Delta NPF\) có \(\widehat {FPN} = \widehat {PFN}\) nên \(\Delta NPF\) cân tại \(N,\) suy ra \(NF = NP.\) (6)
Ta có \(\widehat {FPN} + \widehat {NPE} = \widehat {FPE} = 90^\circ \) và \(\widehat {PFN} + \widehat {PEN} = 90^\circ \) (tổng hai góc nhọn trong \(\Delta PEF\) vuông tại \(P)\)
Suy ra \(\widehat {NPE} = \widehat {NEP},\) do đó \(\Delta NPE\) cân tại \(N,\) nên \(NE = NP.\) (7)
Từ (6) và (7) suy ra \(NF = NE\) hay \(N\) là trung điểm của \(EF.\)
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Đáp án đúng là: C
Không gian mẫu là: \(\Omega = \){(đỏ, đỏ); (đỏ, vàng); (đỏ, xanh); (vàng, xanh)}.
Không gian mẫu có 4 phần tử.
Chỉ có 1 kết quả thuận lợi cho biến cố “Hai viên bi lấy ra cùng màu” là (đỏ, đỏ).
Vậy xác suất của biến cố “Hai viên bi lấy ra cùng màu” là \(\frac{1}{4}.\)
Lời giải
Đáp án đúng là: B
Nửa chu vi đáy là: \(\frac{{62,8}}{2} = 31,4{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\)
Diện tích giấy để làm nên chiếc mũ đó là: \(S = 31,4 \cdot 30 = 942{\rm{\;(c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}\)
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.