(0,5 điểm) Tại cùng một thời điểm, có hai người đang ở hai vị trí $A$ và $B$ cách nhau $1000$ mét. Người thứ nhất ở vị trí $B$ và đi về phía điểm $A$ với vận tốc $2{\rm{\;m/s}}$ và người thứ hai ở vị trí $A$ đi về phía điểm $C$ với vận tốc $1,5{\rm{\;m/s}}.$ Biết rằng $AB$ và $AC$ vuông góc với nhau. Hãy cho biết sau bao nhiêu giây thì khoảng cách giữa hai người này nhỏ nhất?

Gọi $x$ (giây) là thời gian di chuyển của mỗi người $\left( {0 < x < 500} \right).$

Quãng đường người thứ nhất đi được là: $BE = 2x{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}$

Quãng đường người thứ hai đi được là: $AD = 1,5x{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}$

Ta có $AE = AB - BE = 1\,\,000 - 2x{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}$

Xét $\Delta ADE$ vuông tại $A,$ theo định lí Pythagore, ta có:

$D{E^2} = A{D^2} + A{E^2} = {\left( {1,5x} \right)^2} + {\left( {1\,\,000 - 2x} \right)^2} = 2,25{x^2} + 4{x^2} - 4\,\,000x + 1\,\,000\,\,000$

 $= 6,25{x^2} - 4\,\,000x + 1\,\,000\,\,000 = 6,25\left( {{x^2} - 640x + 102\,\,400} \right) + 360\,\,000$

 $= 6,25{\left( {x - 320} \right)^2} + 360\,\,000.$

Ta có: ${\left( {x - 320} \right)^2} \ge 0$ với mọi $x$ nên $6,25{\left( {x - 320} \right)^2} + 360\,\,000 \ge 360\,\,000.$

Do đó $D{E^2} \ge 360\,\,000$ nên $DE \ge 600$

Dấu “=” xảy ra khi ${\left( {x - 320} \right)^2} = 0$ hay $x = 320.$

Vậy sau $320$ giây thì khoảng cách giữa hai người là nhỏ nhất.