Câu hỏi:
12/03/2025 875
Câu 18-20: (2,5 điểm) Cho tam giác \[ABC\] nhọn \[\left( {AB < AC} \right)\] nội tiếp đường tròn \[\left( O \right)\] và có hai đường cao \[BE,\,\,CF\] cắt nhau tại \[H.\] \[AH\] cắt \[\left( O \right)\] tại \[K\] khác \[A,\,\,KE\] cắt \[\left( O \right)\] tại \[M\] khác \[K,\,\,BM\] cắt \[EF\] tại \[N.\]
1) Chứng minh tứ giác \[BCEF\] nội tiếp.
Câu 18-20: (2,5 điểm) Cho tam giác \[ABC\] nhọn \[\left( {AB < AC} \right)\] nội tiếp đường tròn \[\left( O \right)\] và có hai đường cao \[BE,\,\,CF\] cắt nhau tại \[H.\] \[AH\] cắt \[\left( O \right)\] tại \[K\] khác \[A,\,\,KE\] cắt \[\left( O \right)\] tại \[M\] khác \[K,\,\,BM\] cắt \[EF\] tại \[N.\]
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
![1) Chứng minh tứ giác \[BCEF\] nội tiếp. (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/03/25-1741751824.png)
Do \(\Delta BCE\) vuông tại \(E\) nên đường tròn ngoại tiếp tam giác này có tâm là trung điểm của \(BC.\)
Do \(\Delta BCF\) vuông tại \(F\) nên đường tròn ngoại tiếp tam giác này có tâm là trung điểm của \(BC.\)
Như vậy đường tròn đường kính \(BC\) đi qua các điểm \(B,\,\,C,\,\,E,\,\,F.\)
Vậy tứ giác \[BCEF\] nội tiếp đường tròn đường kính \[BC.\]
Câu hỏi cùng đoạn
Câu 2:
2) Chứng minh \[BM \cdot BN = B{E^2}.\]
Lời giải của GV VietJack
Chứng minh tương tự câu 1), ta có tứ giác \(AEHF\) nội tiếp đường tròn đường kính \(AH.\)
Suy ra \(\widehat {FAH} = \widehat {FEH}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(FH).\)
Xét đường tròn \(\left( O \right)\) có \(\widehat {BAK} = \widehat {BMK}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(BK)\)
Suy ra \(\widehat {NEB} = \widehat {EMB}\).
Xét \(\Delta BNE\) và \(\Delta BEM\) có:
\(\widehat {MBE}\) là góc chung và \(\widehat {NEB} = \widehat {EMB}\)
Do đó (g.g). Suy ra \(\frac{{BN}}{{BE}} = \frac{{BE}}{{BM}}\) hay \[BM \cdot BN = B{E^2}.\] (1)
Câu 3:
3) Chứng minh \[N\] là trung điểm của \[EF.\]
Lời giải của GV VietJack
Kẻ \(EP \bot AB.\)
Xét \(\Delta BEP\) và \(\Delta BAE\) có:
\(\widehat {BPE} = \widehat {BEA} = 90^\circ \) và \(\widehat {ABE}\) là góc chung
Do đó (g.g). Suy ra \(\frac{{BE}}{{BA}} = \frac{{BP}}{{BE}}\) hay \(B{E^2} = BA \cdot BP.\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(BM \cdot BN = BA \cdot BP\) nên \(\frac{{BM}}{{BA}} = \frac{{BP}}{{BN}}.\)
Xét \(\Delta BPN\) và \(\Delta BMA\) có:
\(\widehat {ABM}\) là góc chung và \(\frac{{BM}}{{BA}} = \frac{{BP}}{{BN}}.\)
Do đó (c.g.c). Suy ra \(\widehat {BPN} = \widehat {BMA}\) (hai góc tương ứng). (3)
Xét đường tròn \(\left( O \right)\) có \(\widehat {BMA} = \widehat {BCA}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(BA).\) (4)
Mặt khác, \(\widehat {BCE} + \widehat {BFE} = 180^\circ \) (hai góc đối nhau của tứ giác \(BCEF\) nội tiếp).
Mà \(\widehat {AFE} + \widehat {BFE} = 180^\circ \) (hai góc kề bù) nên \(\widehat {BCE} = \widehat {AFE}\) hay \(\widehat {BCA} = \widehat {AFE}.\) (5)
Từ (3), (4) và (5) suy ra \(\widehat {BPN} = \widehat {AFE}.\)
Xét \(\Delta NPF\) có \(\widehat {FPN} = \widehat {PFN}\) nên \(\Delta NPF\) cân tại \(N,\) suy ra \(NF = NP.\) (6)
Ta có \(\widehat {FPN} + \widehat {NPE} = \widehat {FPE} = 90^\circ \) và \(\widehat {PFN} + \widehat {PEN} = 90^\circ \) (tổng hai góc nhọn trong \(\Delta PEF\) vuông tại \(P)\)
Suy ra \(\widehat {NPE} = \widehat {NEP},\) do đó \(\Delta NPE\) cân tại \(N,\) nên \(NE = NP.\) (7)
Từ (6) và (7) suy ra \(NF = NE\) hay \(N\) là trung điểm của \(EF.\)
Sách thầy cô Vietjack biên soạn
Hot: 500+ Đề thi vào 10 file word các Sở Hà Nội, TP Hồ Chí Minh có đáp án 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay
Bình luận
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Một chiếc hộp kín có chứa các viên bi gồm 2 viên màu đỏ, 1 viên màu vàng và 1 viên màu xanh. Các viên bi có kích thước như nhau. Chọn ngẫu nhiên đồng thời 2 viên bi từ hộp. Xác suất của biến cố “Hai viên bi lấy ra cùng màu” là
Xem đáp án »
12/03/2025
1,302
Câu 2:
Cho parabol \[y = a{x^2}\] đi qua điểm \[A\left( {2;2} \right).\] Trong các điểm sau đây, điểm nào thuộc parabol đã cho?
Xem đáp án »
12/03/2025
520
Câu 3:
Một chiếc mũ sinh nhật dạng hình nón được làm bằng giấy, có chu vi đáy là \[62,8{\rm{\;cm}}\] và đường sinh có độ dài \[30{\rm{\;cm}}.\] Giả sử diện tích phần mép nối không đáng kể. Diện tích giấy để làm nên chiếc mũ đó là
Xem đáp án »
12/03/2025
519
Câu 4:
1) Rút gọn biểu thức \[P = \frac{2}{{\sqrt x - 1}} - \frac{{\sqrt x + 5}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\] với \[x \ge 0;\,\,x \ne 1.\]
Xem đáp án »
12/03/2025
487
Câu 5:
(0,5 điểm) Tại cùng một thời điểm, có hai người đang ở hai vị trí \[A\] và \[B\] cách nhau \[1000\] mét. Người thứ nhất ở vị trí \[B\] và đi về phía điểm \[A\] với vận tốc \[2{\rm{\;m/s}}\] và người thứ hai ở vị trí \[A\] đi về phía điểm \[C\] với vận tốc \[1,5{\rm{\;m/s}}.\] Biết rằng \[AB\] và \[AC\] vuông góc với nhau. Hãy cho biết sau bao nhiêu giây thì khoảng cách giữa hai người này nhỏ nhất?
Xem đáp án »
12/03/2025
458
Câu 6:
Số nghiệm của phương trình \[\left( {x - 5} \right)\left( {{x^2} + 1} \right) = 0\] là
Xem đáp án »
12/03/2025
385
🔥 Đề thi HOT:
-
Dạng 5: Bài toán về lãi suất ngân hàng có đáp án
-
Bộ 10 đề thi cuối kì 1 Toán 9 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 01
-
Dạng 2: Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán cực trị xảy ra ở biên có đáp án
-
15 câu Trắc nghiệm Toán 9 Kết nối tri thức Bài 1. Khái niệm phương trình và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có đáp án
-
Đề thi minh họa TS vào 10 năm học 2025 - 2026_Môn Toán_Tỉnh Đắk Lắk
-
Dạng 6: Bài toán về tăng giá, giảm giá và tăng, giảm dân số có đáp án
-
Bộ 10 đề thi cuối kì 2 Toán 9 Chân trời sáng tạo có đáp án (Đề số 1)
-
123 bài tập Nón trụ cầu và hình khối có lời giải
Hãy Đăng nhập hoặc Tạo tài khoản để gửi bình luận
-
-
Bình luận