Câu hỏi:
12/03/2025 166
Câu 14-16: (3,0 điểm) Cho đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính \(AB = 2R\). Dây \(MN\) vuông góc với \(AB\) tại \(I,\) với \(IA < IB.\) Trên đoạn \(MI\) lấy điểm \(E\) \((E\) khác \(M\) và \(I).\) Tia \[AE\] cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại điểm thứ hai là \(K.\)
1) Chứng minh rằng tứ giác \(IEKB\) nội tiếp một đường tròn.
Câu 14-16: (3,0 điểm) Cho đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính \(AB = 2R\). Dây \(MN\) vuông góc với \(AB\) tại \(I,\) với \(IA < IB.\) Trên đoạn \(MI\) lấy điểm \(E\) \((E\) khác \(M\) và \(I).\) Tia \[AE\] cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại điểm thứ hai là \(K.\)
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Gọi \(C\) là trung điểm của \(EB.\)
Ta có \(\widehat {AKB} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) suy ra \(\Delta BKE\) vuông tại \(K,\) lại có \(KC\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(EB\) nên \(CB = CK = CE = \frac{{EB}}{2}.\) (1)
Vì \(\widehat {BIE} = 90^\circ \) suy ra \(\Delta BIE\) vuông tại \(I.\) Xét \(\Delta BIE\) có \(IC\) là đường trung tuyến suy ra \(CB = CE = CI = \frac{{EB}}{2}.\) (2)Từ (1) và (2) suy ra 4 điểm \(I,\,\,E,\,\,K,\,\,B\) cùng thuộc đường tròn \(\left( {C;\,\,\frac{{EB}}{2}} \right).\)
Vậy tứ giác \(IEKB\) nội tiếp đường tròn đường kính \[EB.\]
Câu hỏi cùng đoạn
Câu 2:
2) Chứng minh rằng tam giác \(AME\) đồng dạng với tam giác \(AKM\) và \(AE \cdot AK + BI \cdot BA = 4{R^2}.\)
Lời giải của GV VietJack
⦁ Ta có \(\Delta OMI\) và \(\Delta ONI\) có:
\(\widehat {OIM} = \widehat {OIN} = 90^\circ ;\) \(OM = ON\) và \(OI\) là cạnh chung
Do đó \(\Delta OMI = \Delta ONI\) (cạnh huyền – cạnh góc vuông).
Suy ra \(\widehat {IOM} = \widehat {ION}\) (hai góc tương ứng) hay \(\widehat {AOM} = \widehat {AON}\)
Nên hay
Do đó
Xét \(\Delta AME\) và \(\Delta AKM\) có: \(\widehat {MAK}\) là góc chung và \(\widehat {AME} = \widehat {AKM}\)
Do đó (g.g).
⦁ Xét \(\Delta AIE\) và \(\Delta AKB\) có: \(\widehat {AIE} = \widehat {AKB} = 90^\circ \) và \(\widehat {BAK}\) là góc chung.
Do đó (g.g).
Suy ra \(\frac{{AI}}{{AK}} = \frac{{AE}}{{AB}}\) hay \(AI \cdot AB = AE \cdot AK.\)
Từ đề bài, ta có
\(AE \cdot AK + BI \cdot BA = AI \cdot AB + BI \cdot BA = AB\left( {AI + BI} \right) = A{B^2} = {\left( {2R} \right)^2} = 4{R^2}.\)
Câu 3:
3) Tính độ dài đoạn thẳng \(OI\) theo \(R\) khi chu vi tam giác \(MIO\) đạt giá trị lớn nhất.
Lời giải của GV VietJack
Chu vi tam giác \(MIO\) là \(MI + IO + OM = MI + IO + R\) lớn nhất khi \(IM + IO\) lớn nhất.
Xét \(\Delta MIO\) vuông tại \(I,\) theo định lý Pythagore ta có: \(O{M^2} = {R^2} = O{I^2} + M{I^2}.\)
Mà \(2\left( {O{I^2} + M{I^2}} \right) - {\left( {OI + MI} \right)^2} = {\left( {OI - MI} \right)^2} \ge 0.\)
Suy ra \({\left( {OI + MI} \right)^2} \le 2\left( {O{I^2} + M{I^2}} \right) = 2{R^2}\)
Do đó \(OI + MI \le \sqrt 2 R\) nên \(OI + MI + R \le \left( {\sqrt 2 + 1} \right)R.\)
Dấu “=” xảy ra khi \(OI = MI = \frac{R}{{\sqrt 2 }} = \frac{{R\sqrt 2 }}{2}\).
Vậy chu vi tam giác \(MIO\) lớn nhất bằng \(R + R\sqrt 2 \) khi \(I\) thuộc đoạn thẳng \(AO\) và cách \(O\) một khoảng \(OI = \frac{{R\sqrt 2 }}{2}.\)
Hot: 500+ Đề thi vào 10 file word các Sở Hà Nội, TP Hồ Chí Minh có đáp án 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
Bình luận
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
I. PHẦN TRẮC NGHIỆM (2,0 điểm)
Điều kiện xác định của biểu thức \(\sqrt {x - 2025} \) là
I. PHẦN TRẮC NGHIỆM (2,0 điểm)
Điều kiện xác định của biểu thức \(\sqrt {x - 2025} \) là
Xem đáp án »
12/03/2025
1,418
Câu 2:
II. PHẦN TỰ LUẬN (8,0 điểm)
(1,0 điểm) Gieo một lần một con xúc xắc có dạng khối lập phương 6 mặt, cân đối và đồng chất. Tính xác suất của biến cố: “Số chấm xuất hiện nhỏ hơn 3”.
II. PHẦN TỰ LUẬN (8,0 điểm)
(1,0 điểm) Gieo một lần một con xúc xắc có dạng khối lập phương 6 mặt, cân đối và đồng chất. Tính xác suất của biến cố: “Số chấm xuất hiện nhỏ hơn 3”.
Xem đáp án »
12/03/2025
712
Câu 3:
Thống kê điểm kiểm tra giữa kì môn Toán của lớp 9A, ta thu được bảng số liệu sau:
Điểm
4
5
6
7
8
9
10
Số học sinh
2
3
4
8
13
8
7
Theo bảng số liệu trên, lớp 9A có bao nhiêu bạn đạt điểm 10?
Thống kê điểm kiểm tra giữa kì môn Toán của lớp 9A, ta thu được bảng số liệu sau:
|
Điểm |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
Số học sinh |
2 |
3 |
4 |
8 |
13 |
8 |
7 |
Xem đáp án »
12/03/2025
668
Câu 4:
(1,0 điểm) Thả một vật nặng hình cầu lăn từ trên đỉnh xuống chân một con dốc thẳng, dài 50 m . Quan hệ giữa quãng đường \(y\) (tính bằng mét) và thời gian \(x\) (tính bằng giây, kể từ khi bắt đầu lăn) được thể hiện bởi công thức \(y = \left( {a - 1} \right){x^2}\) (với \(a\) là một hằng số nào đó). Biết rằng hết 4 giây đầu, vật lăn xuống được 8 m . Tính thời gian để vật đó lăn từ đỉnh xuống đến chân dốc.
(1,0 điểm) Thả một vật nặng hình cầu lăn từ trên đỉnh xuống chân một con dốc thẳng, dài 50 m . Quan hệ giữa quãng đường \(y\) (tính bằng mét) và thời gian \(x\) (tính bằng giây, kể từ khi bắt đầu lăn) được thể hiện bởi công thức \(y = \left( {a - 1} \right){x^2}\) (với \(a\) là một hằng số nào đó). Biết rằng hết 4 giây đầu, vật lăn xuống được 8 m . Tính thời gian để vật đó lăn từ đỉnh xuống đến chân dốc.
Xem đáp án »
12/03/2025
188
Câu 5:
Thống kê cân nặng của 25 quả bơ ta thu được bảng sau:
Cân nặng (g)
\(\left[ {145;\,\,155} \right)\)
\(\left[ {155;\,\,165} \right)\)
\[\left[ {165;\,\,175} \right)\]
\(\left[ {175;\,\,185} \right)\)
\(\left[ {185;\,\,195} \right)\)
\(\left[ {195;\,\,205} \right)\)
Số quả
2
4
7
8
3
1
Giá trị nào sau đây (tính bằng gam) đại diện cho nhóm \(\left[ {185;\,\,195} \right)?\)
Thống kê cân nặng của 25 quả bơ ta thu được bảng sau:
|
Cân nặng (g) |
\(\left[ {145;\,\,155} \right)\) |
\(\left[ {155;\,\,165} \right)\) |
\[\left[ {165;\,\,175} \right)\] |
\(\left[ {175;\,\,185} \right)\) |
\(\left[ {185;\,\,195} \right)\) |
\(\left[ {195;\,\,205} \right)\) |
|
Số quả |
2 |
4 |
7 |
8 |
3 |
1 |
Xem đáp án »
12/03/2025
175
🔥 Đề thi HOT:
-
Dạng 5: Bài toán về lãi suất ngân hàng có đáp án
-
Bộ 10 đề thi cuối kì 1 Toán 9 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 01
-
Đề thi minh họa TS vào 10 năm học 2025 - 2026_Môn Toán_Tỉnh Đắk Lắk
-
15 câu Trắc nghiệm Toán 9 Kết nối tri thức Bài 1. Khái niệm phương trình và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có đáp án
-
Dạng 2: Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán cực trị xảy ra ở biên có đáp án
-
123 bài tập Nón trụ cầu và hình khối có lời giải
-
Dạng 6: Bài toán về tăng giá, giảm giá và tăng, giảm dân số có đáp án
-
Bộ 10 đề thi cuối kì 2 Toán 9 Chân trời sáng tạo có đáp án (Đề số 1)
Hãy Đăng nhập hoặc Tạo tài khoản để gửi bình luận
-
-
Bình luận