Câu hỏi:
12/03/2025 194
Câu 14-16: (3,0 điểm) Cho đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính \(AB = 2R\). Dây \(MN\) vuông góc với \(AB\) tại \(I,\) với \(IA < IB.\) Trên đoạn \(MI\) lấy điểm \(E\) \((E\) khác \(M\) và \(I).\) Tia \[AE\] cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại điểm thứ hai là \(K.\)
1) Chứng minh rằng tứ giác \(IEKB\) nội tiếp một đường tròn.
Câu 14-16: (3,0 điểm) Cho đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính \(AB = 2R\). Dây \(MN\) vuông góc với \(AB\) tại \(I,\) với \(IA < IB.\) Trên đoạn \(MI\) lấy điểm \(E\) \((E\) khác \(M\) và \(I).\) Tia \[AE\] cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại điểm thứ hai là \(K.\)
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Gọi \(C\) là trung điểm của \(EB.\)
Ta có \(\widehat {AKB} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) suy ra \(\Delta BKE\) vuông tại \(K,\) lại có \(KC\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(EB\) nên \(CB = CK = CE = \frac{{EB}}{2}.\) (1)
Vì \(\widehat {BIE} = 90^\circ \) suy ra \(\Delta BIE\) vuông tại \(I.\) Xét \(\Delta BIE\) có \(IC\) là đường trung tuyến suy ra \(CB = CE = CI = \frac{{EB}}{2}.\) (2)Từ (1) và (2) suy ra 4 điểm \(I,\,\,E,\,\,K,\,\,B\) cùng thuộc đường tròn \(\left( {C;\,\,\frac{{EB}}{2}} \right).\)
Vậy tứ giác \(IEKB\) nội tiếp đường tròn đường kính \[EB.\]
Câu hỏi cùng đoạn
Câu 2:
2) Chứng minh rằng tam giác \(AME\) đồng dạng với tam giác \(AKM\) và \(AE \cdot AK + BI \cdot BA = 4{R^2}.\)
Lời giải của GV VietJack
⦁ Ta có \(\Delta OMI\) và \(\Delta ONI\) có:
\(\widehat {OIM} = \widehat {OIN} = 90^\circ ;\) \(OM = ON\) và \(OI\) là cạnh chung
Do đó \(\Delta OMI = \Delta ONI\) (cạnh huyền – cạnh góc vuông).
Suy ra \(\widehat {IOM} = \widehat {ION}\) (hai góc tương ứng) hay \(\widehat {AOM} = \widehat {AON}\)
Nên hay
Do đó
Xét \(\Delta AME\) và \(\Delta AKM\) có: \(\widehat {MAK}\) là góc chung và \(\widehat {AME} = \widehat {AKM}\)
Do đó (g.g).
⦁ Xét \(\Delta AIE\) và \(\Delta AKB\) có: \(\widehat {AIE} = \widehat {AKB} = 90^\circ \) và \(\widehat {BAK}\) là góc chung.
Do đó (g.g).
Suy ra \(\frac{{AI}}{{AK}} = \frac{{AE}}{{AB}}\) hay \(AI \cdot AB = AE \cdot AK.\)
Từ đề bài, ta có
\(AE \cdot AK + BI \cdot BA = AI \cdot AB + BI \cdot BA = AB\left( {AI + BI} \right) = A{B^2} = {\left( {2R} \right)^2} = 4{R^2}.\)
Câu 3:
3) Tính độ dài đoạn thẳng \(OI\) theo \(R\) khi chu vi tam giác \(MIO\) đạt giá trị lớn nhất.
Lời giải của GV VietJack
Chu vi tam giác \(MIO\) là \(MI + IO + OM = MI + IO + R\) lớn nhất khi \(IM + IO\) lớn nhất.
Xét \(\Delta MIO\) vuông tại \(I,\) theo định lý Pythagore ta có: \(O{M^2} = {R^2} = O{I^2} + M{I^2}.\)
Mà \(2\left( {O{I^2} + M{I^2}} \right) - {\left( {OI + MI} \right)^2} = {\left( {OI - MI} \right)^2} \ge 0.\)
Suy ra \({\left( {OI + MI} \right)^2} \le 2\left( {O{I^2} + M{I^2}} \right) = 2{R^2}\)
Do đó \(OI + MI \le \sqrt 2 R\) nên \(OI + MI + R \le \left( {\sqrt 2 + 1} \right)R.\)
Dấu “=” xảy ra khi \(OI = MI = \frac{R}{{\sqrt 2 }} = \frac{{R\sqrt 2 }}{2}\).
Vậy chu vi tam giác \(MIO\) lớn nhất bằng \(R + R\sqrt 2 \) khi \(I\) thuộc đoạn thẳng \(AO\) và cách \(O\) một khoảng \(OI = \frac{{R\sqrt 2 }}{2}.\)
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Đáp án đúng là: D
Điều kiện xác định của biểu thức \(\sqrt {x - 2025} \) là \(x - 2025 \ge 0,\) hay \(x \ge 2\,\,025.\)
Lời giải
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Lớp 9A có 7 bạn học sinh đạt được điểm 10.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
🔥 Đề thi HOT:
-
123 bài tập Nón trụ cầu và hình khối có lời giải
-
Đề thi minh họa TS vào 10 năm học 2025 - 2026_Môn Toán_Tỉnh Đắk Lắk
-
50 bài tập Một số yếu tố xác suất có lời giải
-
Đề thi tham khảo môn Toán vào 10 tỉnh Quảng Bình năm học 2025-2026
-
Đề thi minh họa TS vào 10 năm học 2025 - 2026_Môn Toán_TP Hà Nội
-
54 bài tập Hàm số bậc hai và giải bài toán bằng cách lập phương trình có lời giải
-
Đề thi minh họa (Dự thảo) TS vào 10 năm học 2025 - 2026_Môn Toán_Tỉnh Đồng Nai
-
Đề thi tham khảo TS vào 10 năm học 2025 - 2026_Môn Toán_Tỉnh Bình Phước