Câu 12-13: (1,5 điểm) Cho tam giác \(ABC\,\,\left( {AB < AC} \right)\) có ba góc nhọn; các đường cao \(AD,\,\,BK,\,\,CE.\)

1) Chứng minh rằng bốn điểm \(B,\,\,C,\,\,K,\,\,E\) cùng thuộc một đường tròn.

Vì bốn điểm \(B,\,\,C,\,\,K,\,\,E\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(BC\) nên tứ giác \(BCKE\) nội tiếp đường tròn. Suy ra \(\widehat {KBC} = \widehat {KEC}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(KC).\) (1)

Gọi \(H\) là giao điểm của ba đường cao \(AD,\,\,BK,\,\,CE\) của \(\Delta ABC.\)

Chứng minh tương tự, ta có tứ giác \(BDHE\) là tứ giác nội tiếp.

Do đó \(\widehat {HBD} = \widehat {HED}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(HD)\) hay \(\widehat {KBC} = \widehat {CED}.\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat {KEC} = \widehat {CED}.\)

Lại có \(\widehat {KEC} + \widehat {KEA} = 90^\circ \) và \(\widehat {CED} + \widehat {DEB} = 90^\circ \)

Suy ra \[\widehat {KEA} = \widehat {DEB}.\]

Mặt khác, \[\widehat {KEA} = \widehat {BEM}\] (đối đỉnh) nên \[\widehat {BEM} = \widehat {DEB}.\]

Do đó \(EB\) là tia phân giác của góc \(\widehat {MED}.\)

Xét \[\Delta MED\] có \(EB\) là tia phân giác của góc \(\widehat {MED}\) nên \(\frac{{EM}}{{ED}} = \frac{{BM}}{{BD}}\) (tính chất tia phân giác)

Suy ra \(BM \cdot ED = BD \cdot EM.\)