Tìm các số nguyên dương x, y thỏa mãn 2^x + 17 = y⁴

Lời giải:

+ Nếu x = 0 thì có: 2⁰ + 17 = y⁴ ⇔ 18 = y⁴ ⇒ không có y nguyên thỏa mãn

+ Nếu x = 1 thì có: 2¹ + 17 = y⁴ ⇔ 19 = y⁴ ⇒ không có y nguyên thỏa mãn

+ Nếu x = 2 thì có: 2² + 17 = y⁴ ⇔ 21 = y⁴ ⇒ không có y nguyên thỏa mãn

+ Nếu x > 2 thì x có dạng x = 2k hoặc x = 2k + 1 (k là số nguyên)

- Với x = 2k ta có: 2^2k + 17 = y⁴

⇔ y⁴ – 2^2k = 17

⇔ (y²)² – (2^k)² = 17

⇔ (y² – 2^k)(y² + 2^k) = 17

Mà 17 = 17.1 và y² + 2^k > y² - 2^k nên

\(\left\{ \begin{array}{l}{y^2} + {2^k} = 17\\{y^2} - {2^k} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{y^2} = 9\\{2^k} = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 3\\k = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 3\\x = 2k = 6\end{array} \right.\)

- Với x = 2k + 1 ta có: 2^{2k + 1} + 17 = y⁴

⇔ 2^2k+1 + 17 = y⁴

⇔ y⁴ – 16 = 2^2k+1 + 1

⇔ (y² – 4)(y² + 4) = 2^2k+1 + 1

Ta thấy 2^2k+1 + 1 chia hết cho 3

Mà y² chia 3 luôn dư 1, 4 chia 3 dư 1 nên y² + 4 chia 3 dư 2

y² – 4 chia 3 cũng dư 2

Nên (y² – 4)(y² + 4) không chia hết cho 3

Suy ra: (y² – 4)(y² + 4) = 2^2k+1 + 1 vô nghiệm.

Vậy x = 6 và y = 3.