Tìm các số x, y, z nguyên dương biết 2xyz = x + y + z + 16

Lời giải:

Vì vai trò x, y, z như nhau và x, y, z nguyên dương nên để bài toán không mất tính tổng quát ta giả sử: 1 ≤  x ≤ y ≤ z

 x + y + z ≤  z + z + z + 16 = 3z + 16

⇒ 2xyz ≤ 3z + 16

⇒ 2xy ≤ 3z + 16z

⇒ 2xy ≤ 3 + 16z ≤ 3 + 16 = 19

⇒ xy ≤ \(\frac{{19}}{2}\) = 9,5

Mà x ≤ y nên:

x² ≤ 9,5 ⇒ x ∈ {1, 2, 3}

TH1: x = 1

⇒ 2yz = y + z + 17

⇔ 2yz − y − z = 17

⇔ y( z − 1) − z = 17

⇔ 2y( 2z −1) − (2z  1) == 17. 2 + 1 = 35

⇔ (2y − 1)(2z − 1) = 35 = 35. 1 = 5. 7

Mà y ≤  z nên ta có bảng: 

TH2: x = 2

⇒ 4yz = y + z + 18

⇔ 16yz − 4y − 4z – 1  = 73

⇔ (4z − 1)(4y − 1) = 73 = 1.73

Suy ra: 4z – 1 = 73 (loại vì z nguyên dương)

TH3: x = 3

⇒ 6yz = y + z + 19

⇔ 36yz = 114 + 6y + 6z

⇔ 36yz – 6y – 6z = 114

⇔ (6y – 1)(6z – 1) = 114 + 1

⇔ (6y – 1)(6z – 1) = 115 = 115.1 = 23.5

Ta có bảng: 

Trường hợp này loại vì y, z nguyên dương

Vậy (x, y, z) ∈ {(1;3;4), (1;1;18)} và các hoán vị.