Tìm GTLN của P = a²b + b²c + c²a biết a + b + c = 3; a, b, c ≥ 0.

Lời giải:

Không mất tính tổng quát, giả sử a = max (a;b;c) , ta xét 2 trường hợp:

+) –a ≥ b ≥ c dẫn đến kết quả sau:

P = a²b + abc + c²b = b(a² + ac + c²) \( \le b{\left( {a + c} \right)^2} \le \frac{1}{2}{\left[ {\frac{{2b + \left( {a + c} \right) + \left( {a + c} \right)}}{3}} \right]^3} = \frac{4}{{27}}\)

+) –a ≥ cb ≥ dẫn đến kết quả sau:

P = a²c + b²c + abc = c(a² + ab + b²) \( \le b{\left( {a + c} \right)^2} \le \frac{1}{2}{\left[ {\frac{{2b + \left( {a + c} \right) + \left( {a + c} \right)}}{3}} \right]^3} = \frac{4}{{27}}\)

Vậy GTLN của P là \(\frac{4}{{27}}\) khi \(\left( {a;b;c} \right) = \left( {\frac{2}{3};\frac{1}{3};0} \right)\) và các hoán vị.