Tìm GTLN của P = a2b + b2c + c2a biết a + b + c = 3; a, b, c ≥ 0.

Lời giải: Không mất tính tổng quát, giả sử a = max (a;b;c) , ta xét 2 trường hợp: +) –a ≥ b ≥ c dẫn đến kết quả sau: P = a2b + abc + c2b = b(a2 + ac + c2) ( le b{ left( {a + c} right)^2} le frac{1}{2}{ left[ { frac{{2b + left( {a + c} right) + left( {a + c} right)}}{3}} right]^3} = frac{4}{{27}} ) +) –a ≥ cb ≥ dẫn đến kết quả sau: P = a2c + b2c + abc = c(a2 + ab + b2) ( le b{ left( {a + c} right)^2} le frac{1}{2}{ left[ { frac{{2b + left( {a + c} right) + left( {a + c} right)}}{3}} right]^3} = frac{4}{{27}} ) Vậy GTLN của P là ( frac{4}{{27}} ) khi ( left( {a;b;c} right) = left( { frac{2}{3}; frac{1}{3};0} right) ) và các hoán vị.

Câu hỏi:

19/08/2025 473

Tìm GTLN của P = a²b + b²c + c²a biết a + b + c = 3; a, b, c ≥ 0.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 10000 câu trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2025 mới nhất (có đáp án) !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Lời giải:

Không mất tính tổng quát, giả sử a = max (a;b;c) , ta xét 2 trường hợp:

+) –a ≥ b ≥ c dẫn đến kết quả sau:

P = a²b + abc + c²b = b(a² + ac + c²) \( \le b{\left( {a + c} \right)^2} \le \frac{1}{2}{\left[ {\frac{{2b + \left( {a + c} \right) + \left( {a + c} \right)}}{3}} \right]^3} = \frac{4}{{27}}\)

+) –a ≥ cb ≥ dẫn đến kết quả sau:

P = a²c + b²c + abc = c(a² + ab + b²) \( \le b{\left( {a + c} \right)^2} \le \frac{1}{2}{\left[ {\frac{{2b + \left( {a + c} \right) + \left( {a + c} \right)}}{3}} \right]^3} = \frac{4}{{27}}\)

Vậy GTLN của P là \(\frac{4}{{27}}\) khi \(\left( {a;b;c} \right) = \left( {\frac{2}{3};\frac{1}{3};0} \right)\) và các hoán vị.

Hot: Giáo án năng lực số, PPT AI khởi động lớp 1-12 (Update 2026) (chỉ từ 150k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Tìm GTNN của G = x² – x + 2y² – 4y + 3

Xem đáp án

Lời giải

Lời giải:

G = x² – x + 2y² – 4y + 3

G = \({\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + 2{\left( {y - 1} \right)^2} + \frac{3}{4}\)

Vì \({\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + 2{\left( {y - 1} \right)^2} \ge 0,\forall x,y \Rightarrow {\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + 2{\left( {y - 1} \right)^2} + \frac{3}{4} \ge \frac{3}{4},\forall x,y\)

Vậy GTNN của G là \(\frac{3}{4}\) khi \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{1}{2}\\y = 1\end{array} \right.\)

Câu 2

Tìm x biết: (2x – 3)² – (x + 5)² = 0

Xem đáp án

Lời giải

Lời giải:

(2x – 3)² – (x + 5)² = 0

⇔ (2x – 3 – x – 5)(2x – 3 + x + 5) = 0

⇔ (x – 8)(3x + 2) = 0

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = 8\\x = - \frac{2}{3}\end{array} \right.\)

Vậy x = 8 hoặc \(x = - \frac{2}{3}\)

Câu 3