Tìm GTLN của P = a2b + b2c + c2a biết a + b + c = 3; a, b, c ≥ 0.

Lời giải: Không mất tính tổng quát, giả sử a = max (a;b;c) , ta xét 2 trường hợp: +) –a ≥ b ≥ c dẫn đến kết quả sau: P = a2b + abc + c2b = b(a2 + ac + c2) ( le b{ left( {a + c} right)^2} le frac{1}{2}{ left[ { frac{{2b + left( {a + c} right) + left( {a + c} right)}}{3}} right]^3} = frac{4}{{27}} ) +) –a ≥ cb ≥ dẫn đến kết quả sau: P = a2c + b2c + abc = c(a2 + ab + b2) ( le b{ left( {a + c} right)^2} le frac{1}{2}{ left[ { frac{{2b + left( {a + c} right) + left( {a + c} right)}}{3}} right]^3} = frac{4}{{27}} ) Vậy GTLN của P là ( frac{4}{{27}} ) khi ( left( {a;b;c} right) = left( { frac{2}{3}; frac{1}{3};0} right) ) và các hoán vị.

Câu hỏi:

10/05/2025 74

Tìm GTLN của P = a²b + b²c + c²a biết a + b + c = 3; a, b, c ≥ 0.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 10000 câu trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2025 mới nhất (có đáp án) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Lời giải:

Không mất tính tổng quát, giả sử a = max (a;b;c) , ta xét 2 trường hợp:

+) –a ≥ b ≥ c dẫn đến kết quả sau:

P = a²b + abc + c²b = b(a² + ac + c²) \( \le b{\left( {a + c} \right)^2} \le \frac{1}{2}{\left[ {\frac{{2b + \left( {a + c} \right) + \left( {a + c} \right)}}{3}} \right]^3} = \frac{4}{{27}}\)

+) –a ≥ cb ≥ dẫn đến kết quả sau:

P = a²c + b²c + abc = c(a² + ab + b²) \( \le b{\left( {a + c} \right)^2} \le \frac{1}{2}{\left[ {\frac{{2b + \left( {a + c} \right) + \left( {a + c} \right)}}{3}} \right]^3} = \frac{4}{{27}}\)

Vậy GTLN của P là \(\frac{4}{{27}}\) khi \(\left( {a;b;c} \right) = \left( {\frac{2}{3};\frac{1}{3};0} \right)\) và các hoán vị.

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Tìm x biết: (3x – 7)² – 4(x + 1)² = 0

Xem đáp án

Lời giải

Lời giải:

(3x – 7)² – 4(x + 1)² = 0

⇔ (3x – 7)² – [2(x + 1)]² = 0

⇔ (3x – 7)² – (2x + 2)² = 0

⇔ (3x – 7 + 2x + 2)(3x – 7 – 2x – 2) = 0

⇔ (5x – 5)(x – 9) = 0

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 9\end{array} \right.\)

Vậy x = 1 hoặc x = 9.

Câu 2

Cho hàm số y = -x³ + 3(m + 1)x² - (3m² + 7m - 1)x + m² - 1 có điểm cực tiểu tại 1 điểm có hoành độ nhỏ hơn 1.

Xem đáp án

Lời giải

Lời giải:

y′ = −3x² + 6(m + 1)x − 3m²− 7m + 1

Hàm có cực tiểu khi và chỉ khi y′ = 0 có 2 nghiệm phân biệt

⇔ Δ′ = 9m² + 18m + 9 + 3(−3m² − 7m + 1) > 0

⇔ −3m + 12 > 0

⇒ m < 4

Giả sử x₁ < x₂ là 2 nghiệm, khi đó a = -1 < 0 nên x₁ là điểm cực tiểu

Suy ra: \(\frac{{ - 3\left( {m + 1} \right) - \sqrt {12 - 4m} }}{{ - 3}} < 1\)

⇔ \(3m + 3 + \sqrt {12 - 4m} > 3\)

⇔ \(\sqrt {12 - 4m} > 3\)

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}m > 0\\\left\{ \begin{array}{l}m \le 0\\12 - 4m > 9{m^2}\end{array} \right.\end{array} \right. \Rightarrow \frac{{ - 2 - 4\sqrt 7 }}{9} < m < 4\)

Câu 3