Tìm số tự nhiên x để biểu thức sau là số nguyên tố: P = x⁴ + x² + 1

Lời giải:

(3x – 7)² – 4(x + 1)² = 0

⇔ (3x – 7)² – [2(x + 1)]² = 0

⇔ (3x – 7)² – (2x + 2)² = 0

⇔ (3x – 7 + 2x + 2)(3x – 7 – 2x – 2) = 0

⇔ (5x – 5)(x – 9) = 0

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 9\end{array} \right.\)

Vậy x = 1 hoặc x = 9.

Lời giải:

y′ = −3x² + 6(m + 1)x − 3m² − 7m + 1

Hàm có cực tiểu khi và chỉ khi y′ = 0 có 2 nghiệm phân biệt

⇔ Δ′ = 9m² + 18m + 9 + 3(−3m² − 7m + 1) > 0

⇔ −3m + 12 > 0

⇒ m < 4

Giả sử x₁ < x₂ là 2 nghiệm, khi đó a = -1 < 0 nên x₁ là điểm cực tiểu

Suy ra: \(\frac{{ - 3\left( {m + 1} \right) - \sqrt {12 - 4m} }}{{ - 3}} < 1\)

⇔ \(3m + 3 + \sqrt {12 - 4m} > 3\)

⇔ \(\sqrt {12 - 4m} > 3\)

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}m > 0\\\left\{ \begin{array}{l}m \le 0\\12 - 4m > 9{m^2}\end{array} \right.\end{array} \right. \Rightarrow \frac{{ - 2 - 4\sqrt 7 }}{9} < m < 4\)