Tìm số tự nhiên x để biểu thức sau là số nguyên tố: P = x⁴ + x² + 1

Lời giải:

G = x² – x + 2y² – 4y + 3

G = \({\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + 2{\left( {y - 1} \right)^2} + \frac{3}{4}\)

Vì \({\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + 2{\left( {y - 1} \right)^2} \ge 0,\forall x,y \Rightarrow {\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + 2{\left( {y - 1} \right)^2} + \frac{3}{4} \ge \frac{3}{4},\forall x,y\)

Vậy GTNN của G là \(\frac{3}{4}\) khi \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{1}{2}\\y = 1\end{array} \right.\)

Lời giải:

(x + 5)² - (x - 5)² - 2x + 1 = 0

⇔ x² + 10x + 25 – (x² – 10x + 25) – 2x + 1 = 0

⇔ x² + 10x + 25 – x² + 10x – 25 – 2x + 1 = 0

⇔ 20x – 2x + 1 = 0

⇔ 18x + 1 = 0

⇔ \(x = - \frac{1}{{18}}\)

Vậy \(x = - \frac{1}{{18}}\)