Một trường học tổ chức trải nghiệm cho học sinh bằng cách tổ chức các trò chơi, trong đó có trò chơi sử dụng đồng xu để xếp thành một kim tự tháp. Yêu cầu mỗi nhóm học sinh sử dụng \(253\) đồng tiền xu để xếp một mô hình kim tự tháp. Biết rằng tầng dưới cùng có \(58\) đồng xu và cứ lên thêm một tầng thì số đồng xu giảm đi \(7\) đồng. Tập hợp số xu ở mỗi tầng tạo thành     

Đáp án: \(0,5\).

Gọi \(A\) là biến cố: “Trong 3 viên bi lấy ra từ hộp hai có 2 viên bi từ hộp thứ nhất chuyển sang”.

Gọi \(B\) là biến cố: “Ba viên bi lấy ra từ hộp hai là màu trắng”.

Trường hợp 1: 2 viên bi từ hộp thứ nhất chuyển sang là 2 viên bi trắng. Khi đó:

\({P_1}\left( B \right) = \frac{{C_7^2}}{{C_{12}^2}} \cdot \frac{{C_6^3}}{{C_{12}^3}} = \frac{7}{{242}}\).

Trường hợp 2: 2 viên bi từ hộp thứ nhất chuyển sang là 2 viên bi đỏ. Khi đó:

\({P_2}\left( B \right) = \frac{{C_5^2}}{{C_{12}^2}} \cdot \frac{{C_4^3}}{{C_{12}^3}} = \frac{1}{{363}}\).

Trường hợp 3: 2 viên bi từ hộp thứ nhất chuyển sang là 1 viên bi trắng và 1 viên bi đỏ. Khi đó:

\({P_3}\left( B \right) = \frac{{C_7^1.C_5^1}}{{C_{12}^2}} \cdot \frac{{C_5^3}}{{C_{12}^3}} = \frac{{35}}{{1452}}\).

Suy ra \(P\left( B \right) = {P_1}\left( B \right) + {P_2}\left( B \right) + {P_3}\left( B \right) = \frac{{27}}{{284}}\) và \(P\left( {AB} \right) = {P_1}\left( B \right) = \frac{7}{{242}}\).

Do đó, \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{\frac{7}{{242}}}}{{\frac{{27}}{{484}}}} = \frac{{14}}{{27}} \approx 0,5\).

Đáp án: 2,07.

Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ dưới đây:

Gọi dạng của parabol là \(\left( P \right):{y^2} = 2px\).

Ta có \(x = 10,y = 4 \Rightarrow p = \frac{4}{5} \Rightarrow \left( P \right):{y^2} = \frac{8}{5}x\).

Thể tích ly nước nếu đổ đầy: \(V = \pi \int\limits_0^{10} {{y^2}{\rm{d}}x} = \pi \int\limits_0^{10} {\frac{8}{5}x{\rm{d}}x} = \left. {\frac{{4\pi {x^2}}}{5}} \right|_0^{10} = 80\pi .\)

Thể tích của nước trong ly lúc mới đổ lần đầu là: \(\pi \int\limits_0^{{h_1}} {\frac{8}{5}x{\rm{d}}x} = \frac{1}{4} \cdot 80\pi \Leftrightarrow \frac{{4h_1^2}}{5} = 20 \Rightarrow {h_1} = 5\).

Khi đó, chiều cao của nước ban đầu là \({h_1} = 5\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\).

Thể tích của nước trong ly sau khi đổ thêm là: \(\pi \int\limits_0^{{h_2}} {\frac{8}{5}x{\rm{d}}x} = 2 \cdot \frac{1}{4} \cdot 80\pi \Leftrightarrow \frac{{4h_2^2}}{5} = 40 \Rightarrow {h_2} = 5\sqrt 2 \).

Chiều cao của mực nước sau khi đổ thêm là \({h_2} = 5\sqrt 2 \,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\).

Chiều cao của mực nước tăng thêm so với ban đầu: \(h = {h_2} - {h_1} = 5\sqrt 2 - 5 \approx 2,07{\rm{ (cm)}}{\rm{.}}\)