Một phân xưởng sản xuất hai kiểu mũ. Thời gian để làm ra một chiếc mũ kiểu thứ nhất nhiều gấp đôi thời gian để làm ra một chiếc mũ kiểu thứ hai. Nếu chỉ sản xuất kiểu mũ thứ hai thì trong 1 giờ phân xưởng làm được 60 chiếc. Phân xưởng làm việc không quá 8 tiếng mỗi ngày và thị trường tiêu thụ tối đa trong một ngày là 200 chiếc mũ kiểu thứ nhất và 240 chiếc mũ kiểu thứ hai. Tiền lãi khi bán một chiếc mũ kiểu thứ nhất là 24 nghìn đồng, một chiếc mũ kiểu thứ hai là 15 nghìn đồng. Số tiền lãi lớn nhất mà phân xưởng thu được trong một ngày là bao nhiêu nghìn đồng?

Đáp án: 6480.

Thời gian sản xuất:

+ Một chiếc mũ kiểu thứ nhất: \(t\) phút.

+ Một chiếc mũ kiểu thứ hai: \(t' = \frac{t}{2}\) phút.

Trong 1 giờ sản xuất được 60 chiếc mũ kiểu thứ hai: \(t' = \frac{{60}}{{60}} = 1\) (phút/mũ).

Suy ra \(t = 2\) (phút/mũ).

Gọi \(x\), \(y\) lần lượt là số lượng mũ kiểu thứ nhất và kiểu thứ hai sản xuất được mỗi ngày.

Phân xưởng làm việc không quá 8 tiếng \( = 480\) phút mỗi ngày và thị trường tiêu thụ tối đa trong một ngày là 200 chiếc mũ kiểu thứ nhất và 240 chiếc mũ kiểu thứ hai nên \(\left\{ \begin{array}{l}2x + y \le 480\\0 \le x \le 200\\0 \le y \le 240\end{array} \right.\) \(\left( I \right)\).

Tiền lãi:

+ Một chiếc mũ kiểu thứ nhất: 24 nghìn đồng.

+ Một chiếc mũ kiểu thứ hai là 15 nghìn đồng.

Do đó tổng tiền lãi là \(P = 24x + 15y\).

Ta xét bài toán tìm \(x\), \(y\) để \(P = 24x + 15y\) đạt giá trị lớn nhất, với các điều kiện \(\left( I \right)\).

Biểu diễn các ràng buộc trên mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\): \(2x + y = 480\); \(x = 200\); \(y = 240\).

Miền nghiệm của \(\left( I \right)\) là miền ngũ giác \(OHIJK\) như hình vẽ dưới đây.

Tọa độ các đỉnh của ngũ giác \(OHIJK\) và tính giá trị tiền lãi:

+ \(O\left( {0;0} \right)\). Ta có \(P = 24 \cdot 0 + 15 \cdot 0 = 0\).

+ \(H\left( {200;0} \right)\). Ta có \(P = 24 \cdot 200 + 15 \cdot 0 = 4800\).

+ \(I\) là giao điểm của các đường \(2x + y = 480\) và \(x = 200\) nên \(I = \left( {200;80} \right)\).

\( \Rightarrow P = 24 \cdot 200 + 15 \cdot 80 = 6000\).

+ \(J\) là giao điểm của các đường \(2x + y = 480\) và \(y = 240\) nên \(J = \left( {120;240} \right)\).

\( \Rightarrow P = 24 \cdot 120 + 15 \cdot 240 = 6480\).

+ \(K\left( {0;240} \right)\). Ta có \[P = 24 \cdot 0 + 15 \cdot 240 = 3600\].

Vậy số tiền lãi lớn nhất mà phân xưởng thu được trong một ngày là: 6480 nghìn đồng.