Một người điều khiển xe Taxi xuất phát từ trạm thu phí muốn nhập làn vào đường cao tốc, chuyển động tăng tốc với tốc độ $v\left(t\right)=-\frac{1}{180}{t}^2+\frac{116}{135}t$ (m/s) (trong đó, \[t\] là thời gian tính bằng giây kể từ khi Taxi chuyển động rời trạm thu phí). Từ trạm thu phí đó, một xe Cứu thương cũng xuất phát, chuyển động thẳng cùng hướng với xe Taxi nhưng chậm hơn \[1\] giây so với xe Taxi và có gia tốc bằng \(a\) \[{\rm{(m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}{\rm{)}}\](\(a\) là hằng số). Sau khi xe Cứu thương xuất phát được \[17\] giây thì đuổi kịp xe Taxi. Biết rằng, xe Taxi nhập làn cao tốc sau \[20\] giây và cả hai xe duy trì sự tăng tốc trong \[28\] giây kể từ khi Taxi rời trạm thu phí.

a) Quãng đường (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị) xe Taxi đi được từ trạm thu phí đến khi nhập làn khoảng \[{\rm{187 m}}\].

Đáp án: 3390.

Chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\) sao cho parabol \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\) cắt trục hoành tại các điểm \(\left( { - 4;0} \right)\), \(\left( {24;0} \right)\) và tọa độ đỉnh \(I\left( {10; - \frac{{17}}{2}} \right)\).

Ta có hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}16a - 4b + c = 0\\576a + 24b + c = 0\,\,\,\,\,\,\end{array}\\{100a + 10b + c =  - \frac{{17}}{2}}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{17}}{{392}}\\b =  - \frac{{85}}{{98}}\\c =  - \frac{{204}}{{49}}\end{array} \right.\).

Nên \(f\left( x \right) = \frac{{17}}{{392}}{x^2} - \frac{{85}}{{98}}x - \frac{{204}}{{49}}\).

Thể tích của quả bóng bầu dục là:

\(V = \pi \int\limits_{ - 4}^{24} {{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}{\rm{d}}x = \pi } \int\limits_{ - 4}^{24} {{{\left[ {\frac{{17}}{{392}}{x^2} - \frac{{85}}{{98}}x - \frac{{204}}{{49}}} \right]}^2}{\rm{d}}x = } \frac{{16184\pi }}{{15}}\)\( \approx 3390\) (\({\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\)).

Đáp án: 0,24.

Giả sử có \(x\) học sinh nhận sách Đa thức và Tổ hợp;

                \(y\) học sinh nhận sách Đa thức và Hình học;

                \(z\) học sinh nhận sách Tổ hợp và Hình học.

Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{x + y = 4}\\{x + z = 5}\end{array}}\\{y + z = 5}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2}\\{y = 2}\end{array}}\\{z = 3}\end{array}} \right.\).

Vậy có \(2\) học sinh nhận sách Đa thức và Tổ hợp, \(2\) học sinh nhận sách Đa thức và Hình học, \(3\) học sinh nhận sách Tổ hợp và Hình học.

Số khả năng chia sách cho \(7\) bạn là \(n\left( \Omega \right) = C_7^2 \cdot C_5^2 \cdot C_3^3 = 210\).

Gọi \(A\) là biến cố: “Hai bạn Khoa và Dương có phần thưởng giống nhau”.

TH1: Khoa và Dương cùng nhận sách Đa thức và Tổ hợp, khi đó \(5\) bạn còn lại có \(2\) bạn nhận sách Đa Thức và Hình học, \(3\) bạn nhận sách Tổ hợp và Hình học.

Vậy số cách phân chia là: \(C_5^2 \cdot C_3^3 = 10\).

Tương tự, ta có:

TH2: Khoa và Dương cùng nhận sách Đa thức và Hình học: \(C_5^2 \cdot C_3^3 = 10\).

TH3: Khoa và Dương cùng nhận sách Tổ hợp và Hình học: \(C_5^2 \cdot C_3^2 = 30\).

Do đó, suy ra \(n\left( A \right) = 10 + 10 + 30 = 50\)\( \Rightarrow P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{5}{{21}} \approx 0,24\).