Một người điều khiển xe Taxi xuất phát từ trạm thu phí muốn nhập làn vào đường cao tốc, chuyển động tăng tốc với tốc độ $v\left(t\right)=-\frac{1}{180}{t}^2+\frac{116}{135}t$ (m/s) (trong đó, \[t\] là thời gian tính bằng giây kể từ khi Taxi chuyển động rời trạm thu phí). Từ trạm thu phí đó, một xe Cứu thương cũng xuất phát, chuyển động thẳng cùng hướng với xe Taxi nhưng chậm hơn \[1\] giây so với xe Taxi và có gia tốc bằng \(a\) \[{\rm{(m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}{\rm{)}}\](\(a\) là hằng số). Sau khi xe Cứu thương xuất phát được \[17\] giây thì đuổi kịp xe Taxi. Biết rằng, xe Taxi nhập làn cao tốc sau \[20\] giây và cả hai xe duy trì sự tăng tốc trong \[28\] giây kể từ khi Taxi rời trạm thu phí.

a) Quãng đường (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị) xe Taxi đi được từ trạm thu phí đến khi nhập làn khoảng \[{\rm{187 m}}\].

Đáp án: 3390.

Chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\) sao cho parabol \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\) cắt trục hoành tại các điểm \(\left( { - 4;0} \right)\), \(\left( {24;0} \right)\) và tọa độ đỉnh \(I\left( {10; - \frac{{17}}{2}} \right)\).

Ta có hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}16a - 4b + c = 0\\576a + 24b + c = 0\,\,\,\,\,\,\end{array}\\{100a + 10b + c =  - \frac{{17}}{2}}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{17}}{{392}}\\b =  - \frac{{85}}{{98}}\\c =  - \frac{{204}}{{49}}\end{array} \right.\).

Nên \(f\left( x \right) = \frac{{17}}{{392}}{x^2} - \frac{{85}}{{98}}x - \frac{{204}}{{49}}\).

Thể tích của quả bóng bầu dục là:

\(V = \pi \int\limits_{ - 4}^{24} {{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}{\rm{d}}x = \pi } \int\limits_{ - 4}^{24} {{{\left[ {\frac{{17}}{{392}}{x^2} - \frac{{85}}{{98}}x - \frac{{204}}{{49}}} \right]}^2}{\rm{d}}x = } \frac{{16184\pi }}{{15}}\)\( \approx 3390\) (\({\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\)).

Đáp án: 8.

Do vận tốc của máy bay không đổi nên thời gian và quãng đường là hai đại lượng tỉ lệ thuận.

Thời gian máy bay di chuyển từ \(M\) đến \(Q\) là 30 phút nên \(\frac{{MN}}{{MQ}} = \frac{{20}}{{30}} = \frac{2}{3}\), do đó \(\overrightarrow {MN}  = \frac{2}{3}\overrightarrow {MQ} \).

Ta có \(\overrightarrow {MN}  = \left( {{x_N} - 1100\,;\,{y_N} - 650\,;\,{z_N} - 14} \right)\); \(\overrightarrow {MQ}  = \left( {400\,;210\,;2} \right)\).

Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}{x_N} = \frac{2}{3} \cdot 400 + 1100 = \frac{{4100}}{3}\\{y_N} = \frac{2}{3} \cdot 210 + 650 = 790\\{z_N} = \frac{2}{3} \cdot 2 + 14 = \frac{{46}}{3}\end{array} \right.\) tức là \(N\left( {\frac{{4100}}{3}\,;790 &  & \,;\frac{{46}}{3}} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {MN}  = \left( {\frac{{800}}{3}\,;\,140\,;\,\frac{4}{3}} \right)\), \(\overrightarrow {ME}  = \left( {\frac{{ - 1600}}{3}\,;\, - 280\,;\,\frac{{ - 8}}{3}} \right)\).

Khi đó \(\frac{{\frac{{800}}{3}}}{{\frac{{ - 1600}}{3}}} = \frac{{140}}{{ - 280}} = \frac{{\frac{4}{3}}}{{\frac{{ - 8}}{3}}} =  - \frac{1}{2}\) nên ba điểm \(M\), \(E\), \(N\) thẳng hàng; \(M\) nằm giữa \(E\) và \(N\); \(ME = 2MN\).

Giả sử sau \(x\) phút khi máy bay bay từ \(M\) thì người điều khiển pháo phải bắn.

Khi đó vận tốc khẩu pháo là \(\frac{{EN}}{{20 - x}}\) km/phút; vận tốc máy bay là \(\frac{{MN}}{{20}}\) km/phút.

Theo đề bài \(\frac{{EN}}{{20 - x}} = 5 \cdot \frac{{MN}}{{20}} = \frac{{MN}}{4}\). Suy ra \(\frac{{3MN}}{{20 - x}} = \frac{{MN}}{4}\). Suy ra \(20 - x = 12\)\( \Leftrightarrow x = 8\).

Vậy sau 8 phút khi máy bay bay từ \(M\) thì người điều khiển pháo phải bắn.