Một quả bóng bầu dục theo quy định được sử dụng trong giải bóng bầu dục quốc gia có kích thước \(28\,{\rm{cm}}\) từ đầu này đến đầu kia và đường kính \(17\,{\rm{cm}}\) ở phần dày nhất (quy định cho phép thay đổi một chút về các kích thước này) (Nguồn: NFL).

 

Hình dạng của một quả bóng bầu dục có kích thước nói trên có thể được tạo thành khi quay phần diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\), trục hoành và các đường thẳng \(x = - 4\); \(x = 24\), trong đó \(x\) tính bằng \({\rm{cm}}\). Thể tích (đơn vị: \({\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\), kết quả làm tròn đến hàng đơn vị) của quả bóng bầu dục có kích thước nói trên bằng bao nhiêu.

Gọi \(t\) là thời gian tính từ lúc xe Taxi bắt đầu chuyển động (\(t \ge 0\), đơn vị giây).

Vận tốc của xe Taxi: \({v_T}\left( t \right) =  - \frac{1}{{180}}{t^2} + \frac{{116}}{{135}}t\) (m/s).

Xe Cứu thương xuất phát sau 1 giây (\(t = 1\)) với gia tốc \(a\) và vận tốc ban đầu \(0\).

Gọi \(t' = t - 1\) là thời gian chuyển động của xe Cứu thương (\(t' \ge 0\)).

Vận tốc xe Cứu thương: \({v_A}\left( {t'} \right) = at'\).

Quãng đường xe Cứu thương: \({S_A}\left( {t'} \right) = \frac{1}{2}a{\left( {t'} \right)^2}\).

a) Sai. Quãng đường xe Taxi đi được đến khi nhập làn (\(t = 20\)\[{\rm{s}}\]):

\({S_T}\left( {20} \right) = \int\limits_0^{20} {{v_T}\left( t \right)\,{\rm{d}}t}  = \int\limits_0^{20} {\left( { - \frac{1}{{180}}{t^2} + \frac{{116}}{{135}}t} \right){\rm{d}}t} \) \[ = \left. {\left( { - \frac{{{t^3}}}{{540}} + \frac{{58}}{{135}}{t^2}} \right)} \right|_0^{20} =  - \frac{{{{20}^3}}}{{540}} + \frac{{58}}{{135}} \cdot {20^2} = \frac{{4240}}{{27}} \approx 157\,{\rm{(m)}}\].

Đáp án: 0,24.

Giả sử có \(x\) học sinh nhận sách Đa thức và Tổ hợp;

                \(y\) học sinh nhận sách Đa thức và Hình học;

                \(z\) học sinh nhận sách Tổ hợp và Hình học.

Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{x + y = 4}\\{x + z = 5}\end{array}}\\{y + z = 5}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2}\\{y = 2}\end{array}}\\{z = 3}\end{array}} \right.\).

Vậy có \(2\) học sinh nhận sách Đa thức và Tổ hợp, \(2\) học sinh nhận sách Đa thức và Hình học, \(3\) học sinh nhận sách Tổ hợp và Hình học.

Số khả năng chia sách cho \(7\) bạn là \(n\left( \Omega \right) = C_7^2 \cdot C_5^2 \cdot C_3^3 = 210\).

Gọi \(A\) là biến cố: “Hai bạn Khoa và Dương có phần thưởng giống nhau”.

TH1: Khoa và Dương cùng nhận sách Đa thức và Tổ hợp, khi đó \(5\) bạn còn lại có \(2\) bạn nhận sách Đa Thức và Hình học, \(3\) bạn nhận sách Tổ hợp và Hình học.

Vậy số cách phân chia là: \(C_5^2 \cdot C_3^3 = 10\).

Tương tự, ta có:

TH2: Khoa và Dương cùng nhận sách Đa thức và Hình học: \(C_5^2 \cdot C_3^3 = 10\).

TH3: Khoa và Dương cùng nhận sách Tổ hợp và Hình học: \(C_5^2 \cdot C_3^2 = 30\).

Do đó, suy ra \(n\left( A \right) = 10 + 10 + 30 = 50\)\( \Rightarrow P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{5}{{21}} \approx 0,24\).