Một quả bóng bầu dục theo quy định được sử dụng trong giải bóng bầu dục quốc gia có kích thước \(28\,{\rm{cm}}\) từ đầu này đến đầu kia và đường kính \(17\,{\rm{cm}}\) ở phần dày nhất (quy định cho phép thay đổi một chút về các kích thước này) (Nguồn: NFL).

 

Hình dạng của một quả bóng bầu dục có kích thước nói trên có thể được tạo thành khi quay phần diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\), trục hoành và các đường thẳng \(x = - 4\); \(x = 24\), trong đó \(x\) tính bằng \({\rm{cm}}\). Thể tích (đơn vị: \({\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\), kết quả làm tròn đến hàng đơn vị) của quả bóng bầu dục có kích thước nói trên bằng bao nhiêu.

Gọi \(t\) là thời gian tính từ lúc xe Taxi bắt đầu chuyển động (\(t \ge 0\), đơn vị giây).

Vận tốc của xe Taxi: \({v_T}\left( t \right) =  - \frac{1}{{180}}{t^2} + \frac{{116}}{{135}}t\) (m/s).

Xe Cứu thương xuất phát sau 1 giây (\(t = 1\)) với gia tốc \(a\) và vận tốc ban đầu \(0\).

Gọi \(t' = t - 1\) là thời gian chuyển động của xe Cứu thương (\(t' \ge 0\)).

Vận tốc xe Cứu thương: \({v_A}\left( {t'} \right) = at'\).

Quãng đường xe Cứu thương: \({S_A}\left( {t'} \right) = \frac{1}{2}a{\left( {t'} \right)^2}\).

a) Sai. Quãng đường xe Taxi đi được đến khi nhập làn (\(t = 20\)\[{\rm{s}}\]):

\({S_T}\left( {20} \right) = \int\limits_0^{20} {{v_T}\left( t \right)\,{\rm{d}}t}  = \int\limits_0^{20} {\left( { - \frac{1}{{180}}{t^2} + \frac{{116}}{{135}}t} \right){\rm{d}}t} \) \[ = \left. {\left( { - \frac{{{t^3}}}{{540}} + \frac{{58}}{{135}}{t^2}} \right)} \right|_0^{20} =  - \frac{{{{20}^3}}}{{540}} + \frac{{58}}{{135}} \cdot {20^2} = \frac{{4240}}{{27}} \approx 157\,{\rm{(m)}}\].

Đáp án: 8.

Do vận tốc của máy bay không đổi nên thời gian và quãng đường là hai đại lượng tỉ lệ thuận.

Thời gian máy bay di chuyển từ \(M\) đến \(Q\) là 30 phút nên \(\frac{{MN}}{{MQ}} = \frac{{20}}{{30}} = \frac{2}{3}\), do đó \(\overrightarrow {MN}  = \frac{2}{3}\overrightarrow {MQ} \).

Ta có \(\overrightarrow {MN}  = \left( {{x_N} - 1100\,;\,{y_N} - 650\,;\,{z_N} - 14} \right)\); \(\overrightarrow {MQ}  = \left( {400\,;210\,;2} \right)\).

Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}{x_N} = \frac{2}{3} \cdot 400 + 1100 = \frac{{4100}}{3}\\{y_N} = \frac{2}{3} \cdot 210 + 650 = 790\\{z_N} = \frac{2}{3} \cdot 2 + 14 = \frac{{46}}{3}\end{array} \right.\) tức là \(N\left( {\frac{{4100}}{3}\,;790 &  & \,;\frac{{46}}{3}} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {MN}  = \left( {\frac{{800}}{3}\,;\,140\,;\,\frac{4}{3}} \right)\), \(\overrightarrow {ME}  = \left( {\frac{{ - 1600}}{3}\,;\, - 280\,;\,\frac{{ - 8}}{3}} \right)\).

Khi đó \(\frac{{\frac{{800}}{3}}}{{\frac{{ - 1600}}{3}}} = \frac{{140}}{{ - 280}} = \frac{{\frac{4}{3}}}{{\frac{{ - 8}}{3}}} =  - \frac{1}{2}\) nên ba điểm \(M\), \(E\), \(N\) thẳng hàng; \(M\) nằm giữa \(E\) và \(N\); \(ME = 2MN\).

Giả sử sau \(x\) phút khi máy bay bay từ \(M\) thì người điều khiển pháo phải bắn.

Khi đó vận tốc khẩu pháo là \(\frac{{EN}}{{20 - x}}\) km/phút; vận tốc máy bay là \(\frac{{MN}}{{20}}\) km/phút.

Theo đề bài \(\frac{{EN}}{{20 - x}} = 5 \cdot \frac{{MN}}{{20}} = \frac{{MN}}{4}\). Suy ra \(\frac{{3MN}}{{20 - x}} = \frac{{MN}}{4}\). Suy ra \(20 - x = 12\)\( \Leftrightarrow x = 8\).

Vậy sau 8 phút khi máy bay bay từ \(M\) thì người điều khiển pháo phải bắn.