Câu hỏi:
24/05/2025 415
Một tàu thăm dò tự hành (AUV) đang hoạt động dưới biển sâu. Hệ tọa độ \(Oxyz\) được thiết lập với mặt nước biển yên tĩnh là mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) trục \(Oz\) hướng thẳng đứng xuống dưới (độ sâu \(z > 0\)), đơn vị tính bằng hectômét (hm). AUV bắt đầu hành trình từ vị trí \(A\left( {8;6;1} \right)\) và dự định di chuyển theo đường thẳng đến vị trí cuối \(B\left( {4; - 2;2} \right)\). Trong hành trình của mình AUV cần tránh một khu vực hình cầu \(\left( S \right)\), tâm tại điểm \(K\left( {2; - 4;2} \right)\), bán kính \(R = 1\) hm (khu vực có thiết bị nhạy cảm).
a) Quãng đường (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị) xe Taxi đi được từ trạm thu phí đến khi nhập làn khoảng \[{\rm{187 m}}\].
Một tàu thăm dò tự hành (AUV) đang hoạt động dưới biển sâu. Hệ tọa độ \(Oxyz\) được thiết lập với mặt nước biển yên tĩnh là mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) trục \(Oz\) hướng thẳng đứng xuống dưới (độ sâu \(z > 0\)), đơn vị tính bằng hectômét (hm). AUV bắt đầu hành trình từ vị trí \(A\left( {8;6;1} \right)\) và dự định di chuyển theo đường thẳng đến vị trí cuối \(B\left( {4; - 2;2} \right)\). Trong hành trình của mình AUV cần tránh một khu vực hình cầu \(\left( S \right)\), tâm tại điểm \(K\left( {2; - 4;2} \right)\), bán kính \(R = 1\) hm (khu vực có thiết bị nhạy cảm).
a) Quãng đường (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị) xe Taxi đi được từ trạm thu phí đến khi nhập làn khoảng \[{\rm{187 m}}\].
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Đúng. Đường thẳng chứa hành trình của AUV đi qua điểm \(A\left( {8;6;1} \right)\) và nhận \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 4; - 8;1} \right)\) làm vectơ chỉ phương nên có phương trình \(\frac{{x - 8}}{{ - 4}} = \frac{{y - 6}}{{ - 8}} = \frac{{z - 1}}{1}\).
Câu hỏi cùng đoạn
Câu 2:
b) Xe Cứu thương chuyển động với gia tốc \(a = \frac{{300}}{{289}}\) \[{\rm{(m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}{\rm{)}}\].
b) Xe Cứu thương chuyển động với gia tốc \(a = \frac{{300}}{{289}}\) \[{\rm{(m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}{\rm{)}}\].
Lời giải của GV VietJack
b) Đúng. Mặt cầu \(\left( S \right)\), tâm tại điểm \(K\left( {2; - 4;2} \right)\), bán kính \(R = 1\) nên có phương trình \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 1\).
Câu 3:
c) Vận tốc (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị) của xe Cứu thương tại thời điểm đuổi kịp xe Taxi khoảng \[16\,\,{\rm{(m/s)}}\].
c) Vận tốc (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị) của xe Cứu thương tại thời điểm đuổi kịp xe Taxi khoảng \[16\,\,{\rm{(m/s)}}\].
Lời giải của GV VietJack
c) Đúng. Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 4; - 8;1} \right) \Rightarrow AB = 9\); \(\overrightarrow {AK} = \left( { - 6; - 10;1} \right) \Rightarrow AK = \sqrt {137} > 1\);
\(\overrightarrow {KB} = \left( {2;2;0} \right) \Rightarrow KB = 2\sqrt 2 > 1\) suy ra \(A,B\) nằm ngoài mặt cầu.
Giao điểm \(I,J\) của đường thẳng \(AB\) và mặt cầu là nghiệm của hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{x - 8}}{{ - 4}} = \frac{{y - 6}}{{ - 8}} = \frac{{z - 1}}{1} = t\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 1\,\,\,\,\,\,(2)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{80}}{{27}}\\y = - \frac{{110}}{{27}}\\z = \frac{{61}}{{27}}\end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{8}{3}\\y = - \frac{{44}}{3}\\z = \frac{7}{3}\end{array} \right.\).
Từ (1) ta được \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 4t + 8\\y = - 8t + 6\\z = t + 1\end{array} \right.\). Thế vào (2) ta được:
\({\left( { - 4t + 8 - 2} \right)^2} + {\left( { - 8t + 6 + 4} \right)^2} + {\left( {t + 1 - 2} \right)^2} = 1\)
\({\left( {4t - 6} \right)^2} + {\left( {8t - 10} \right)^2} + {\left( {t - 1} \right)^2} = 1\)
\(16{t^2} - 48t + 36 + 64{t^2} - 160t + 100 + {t^2} - 2t + 1 = 1\)
\(81{t^2} - 210t + 136 = 0\)
\(t = \frac{{34}}{{27}}\) hoặc \(t = \frac{4}{3}\)
Với \(t = \frac{{34}}{{27}}\) ta được điểm \(I\left( {\frac{{80}}{{27}};\frac{{ - 110}}{{27}};\frac{{61}}{{27}}} \right)\).
Với \(t = \frac{4}{3}\) ta được điểm \(J\left( {\frac{8}{3};\frac{{ - 14}}{3};\frac{7}{3}} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {AI} = \left( {\frac{{ - 136}}{{27}};\frac{{ - 272}}{{27}};\frac{{34}}{{27}}} \right)\); \(\overrightarrow {IJ} = \left( {\frac{{ - 8}}{{27}};\frac{{ - 16}}{{27}};\frac{2}{{27}}} \right)\); \(\overrightarrow {JB} = \left( {\frac{4}{3};\frac{8}{3};\frac{{ - 1}}{3}} \right)\)
Khi đó \(\overrightarrow {AI} = 17\overrightarrow {IJ} \) nên \(I\) nằm giữa \(A\) và \(J\).
\(\overrightarrow {IJ} = - \frac{2}{9}\overrightarrow {JB} \) hay \(\overrightarrow {BI} = \frac{7}{2}\overrightarrow {IJ} \) nên \(I\) nằm giữa \(J\) và \(B\).
Nhận thấy hai điểm \(A,B\) nằm ngoài mặt cầu về cùng một phía so với hai điểm \(I,J\) nên trên hành trình AUV luôn cách tâm \(K\) một khoảng lớn hơn hoặc bằng \(KB = 2\sqrt 2 > 1 = R\) .
Câu 4:
d) Trong khoảng thời gian kể từ lúc hai xe gặp nhau cho đến giây thứ \[28\] (kể từ khi Taxi chuyển động rời trạm thu phí) vận tốc trung bình của xe Cứu thương lớn hơn vận tốc trung bình của xe Taxi.
d) Trong khoảng thời gian kể từ lúc hai xe gặp nhau cho đến giây thứ \[28\] (kể từ khi Taxi chuyển động rời trạm thu phí) vận tốc trung bình của xe Cứu thương lớn hơn vận tốc trung bình của xe Taxi.
Lời giải của GV VietJack
d) Đúng. Vì hai điểm \(A,B\) nằm ngoài mặt cầu về cùng một phía so với hai điểm \(I,J\) nên hành trình của AUV không đi qua khu khu vực có thiết bị nhạy cảm hình cầu \(\left( S \right)\).
Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
- 20 đề thi tốt nghiệp môn Toán (có đáp án chi tiết) ( 38.500₫ )
- 20 Bộ đề, Tổng ôn, sổ tay môn Toán (có đáp án chi tiết) ( 55.000₫ )
- Bộ đề thi tốt nghiệp 2025 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh, Sử, Địa, KTPL (có đáp án chi tiết) ( 36.000₫ )
- Tổng ôn lớp 12 môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh Sử, Địa, KTPL (Form 2025) ( 36.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Gọi \(t\) là thời gian tính từ lúc xe Taxi bắt đầu chuyển động (\(t \ge 0\), đơn vị giây).
Vận tốc của xe Taxi: \({v_T}\left( t \right) = - \frac{1}{{180}}{t^2} + \frac{{116}}{{135}}t\) (m/s).
Xe Cứu thương xuất phát sau 1 giây (\(t = 1\)) với gia tốc \(a\) và vận tốc ban đầu \(0\).
Gọi \(t' = t - 1\) là thời gian chuyển động của xe Cứu thương (\(t' \ge 0\)).
Vận tốc xe Cứu thương: \({v_A}\left( {t'} \right) = at'\).
Quãng đường xe Cứu thương: \({S_A}\left( {t'} \right) = \frac{1}{2}a{\left( {t'} \right)^2}\).
a) Sai. Quãng đường xe Taxi đi được đến khi nhập làn (\(t = 20\)\[{\rm{s}}\]):
\({S_T}\left( {20} \right) = \int\limits_0^{20} {{v_T}\left( t \right)\,{\rm{d}}t} = \int\limits_0^{20} {\left( { - \frac{1}{{180}}{t^2} + \frac{{116}}{{135}}t} \right){\rm{d}}t} \) \[ = \left. {\left( { - \frac{{{t^3}}}{{540}} + \frac{{58}}{{135}}{t^2}} \right)} \right|_0^{20} = - \frac{{{{20}^3}}}{{540}} + \frac{{58}}{{135}} \cdot {20^2} = \frac{{4240}}{{27}} \approx 157\,{\rm{(m)}}\].
Lời giải
Đáp án: 3390.
Chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\) sao cho parabol \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\) cắt trục hoành tại các điểm \(\left( { - 4;0} \right)\), \(\left( {24;0} \right)\) và tọa độ đỉnh \(I\left( {10; - \frac{{17}}{2}} \right)\).
Ta có hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}16a - 4b + c = 0\\576a + 24b + c = 0\,\,\,\,\,\,\end{array}\\{100a + 10b + c = - \frac{{17}}{2}}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{17}}{{392}}\\b = - \frac{{85}}{{98}}\\c = - \frac{{204}}{{49}}\end{array} \right.\).
Nên \(f\left( x \right) = \frac{{17}}{{392}}{x^2} - \frac{{85}}{{98}}x - \frac{{204}}{{49}}\).
Thể tích của quả bóng bầu dục là:
\(V = \pi \int\limits_{ - 4}^{24} {{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}{\rm{d}}x = \pi } \int\limits_{ - 4}^{24} {{{\left[ {\frac{{17}}{{392}}{x^2} - \frac{{85}}{{98}}x - \frac{{204}}{{49}}} \right]}^2}{\rm{d}}x = } \frac{{16184\pi }}{{15}}\)\( \approx 3390\) (\({\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\)).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
🔥 Đề thi HOT:
-
30 Đề thi thử thpt quốc gia môn Toán có lời giải chi tiết mới nhất (Đề số 1)
-
CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI
-
(2025 mới) Đề thi ôn tập THPT môn Toán có đáp án (Đề số 1)
-
Đề minh họa tốt nghiệp THPT môn Toán có đáp án năm 2025 (Đề 1)
-
Đề minh họa tốt nghiệp THPT môn Toán có đáp án năm 2025 (Đề 2)
-
Đề minh họa tốt nghiệp THPT môn Toán có đáp án năm 2025 (Đề 19)
-
(2025 mới) Đề thi ôn tập THPT môn Toán có đáp án (Đề số 2)
-
45 bài tập Xác suất có lời giải