Cho parabol (P): y = ax² (a ≠ 0) và đường thẳng (d): y = bx + c. Nếu phương trình ax² – bx – c = 0 có nghiệm kép thì

Đáp án đúng là: C

– Giả sử A(x_A; y_A) và B(x_B; y_B). Ta cần tính khoảng cách giữa hai điểm A và B là độ dài đoạn thẳng AB.

Qua A, B lần lượt kẻ đường thẳng song song với Ox, Oy. Hai đường thẳng này cắt nhau tại H. Khi đó tam giác ABH vuông tại H.

⦁ AH // Ox nên AH = |x_A – x_H| = |x_A – x_B|.

⦁ BH // Oy nên BH = |y_A – y_H| = |y_A – y_B|.

⦁ \(AB = \sqrt {A{H^2} + B{H^2}} = \sqrt {{{\left( {{x_A} - {x_B}} \right)}^2} + {{\left( {{y_A} - {y_B}} \right)}^2}} \) (Áp dụng định lí Pythagore cho ∆ABH vuông tại H).

– Đường thẳng song song với trục hoành và cắt trục tung tại điểm 4 là đồ thị của hàm số y = 4.

Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm của đường thẳng (d): y = 4 và parabol (P): y = 2x², khi đó ta có:

y = 2x² (1) và y = 4.

Suy ra 2x² = 4 hay x² = 2, do đó \(x = \sqrt 2 \) hoặc \(x = - \sqrt 2 .\)

Như vậy, đường thẳng (d): y = 4 cắt parabol (P): y = 2x² tại hai điểm phân biệt có tọa độ là \(\left( {\sqrt 2 ;\,\,4} \right);\,\,\left( { - \sqrt 2 ;\,\,4} \right).\)

Độ dài đoạn thẳng AB là: \(AB = \sqrt {{{\left( { - \sqrt 2 - \sqrt 2 } \right)}^2} + {{\left( {4 - 4} \right)}^2}} = 2\sqrt 2 .\)

Gọi H là giao điểm của đường thẳng (d): y = 4 với trục Oy tại điểm 4, khi đó H(0; 4).

Suy ra OH = |4| = 4.

Vậy diện tích tam giác OAB là:

\({S_{\Delta OAB}} = \frac{1}{2}OH \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2\sqrt 2 = 4\sqrt 2 \) (đơn vị diện tích).

Đáp án đúng là: C

⦁ Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm (nếu có) của đường thẳng (d): y = 2x + 1 và parabol (P): y = x², khi đó ta có:

y = x² và y = 2x + 1.

Suy ra x² = 2x + 1 hay x² – 2x – 1 = 0 (*).

Phương trình (*) có ∆' = (–1)² – 1.(–1) = 2 > 0.

Do đó phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt.

Như vậy đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt. Do đó phương án A không thỏa mãn yêu cầu đề bài.

⦁ Tương tự như trên, ta có các đường thẳng y = 2x và y = 2x + 3 cũng cắt parabol (P): y = x² tại hai điểm phân biệt.

⦁ Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm (nếu có) của đường thẳng (d): y = 2x – 3 và parabol (P): y = x², khi đó ta có:

y = x² và y = 2x – 3.

Suy ra x² = 2x – 3 hay x² – 2x + 3 = 0 (*).

Phương trình (*) có ∆' = (–1)² – 1.3 = –2 < 0.

Do đó phương trình (*) vô nghiệm nên đường thẳng (d) không cắt parabol (P): y = x², tức là hai đồ thị hàm số này không có điểm chung.

Vậy ta chọn phương án C.