Gọi A và B là hai giao điểm của đường thẳng y = x – 2 và parabol y = –x². Độ dài đoạn thẳng AB là

Đáp án đúng là: C

– Giả sử A(x_A; y_A) và B(x_B; y_B). Ta cần tính khoảng cách giữa hai điểm A và B là độ dài đoạn thẳng AB.

Qua A, B lần lượt kẻ đường thẳng song song với Ox, Oy. Hai đường thẳng này cắt nhau tại H. Khi đó tam giác ABH vuông tại H.

⦁ AH // Ox nên AH = |x_A – x_H| = |x_A – x_B|.

⦁ BH // Oy nên BH = |y_A – y_H| = |y_A – y_B|.

⦁ \(AB = \sqrt {A{H^2} + B{H^2}} = \sqrt {{{\left( {{x_A} - {x_B}} \right)}^2} + {{\left( {{y_A} - {y_B}} \right)}^2}} \) (Áp dụng định lí Pythagore cho ∆ABH vuông tại H).

– Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm của đường thẳng (d): y = x – 2 và parabol (P): y = –x², khi đó ta có:

y = –x² (1) và y = x – 2.

Suy ra –x² = x – 2 hay x² + x – 2 = 0 (*).

Phương trình (*) có ∆ = 1² – 4.1.(–2) = 9 > 0 và \(\sqrt \Delta = \sqrt 9 = 3.\)

Do đó phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt là:

\({x_1} = \frac{{ - 1 - 3}}{{2 \cdot 1}} = - 2;\,\,{x_2} = \frac{{ - 1 + 3}}{{2 \cdot 1}} = 1.\)

Với x₁ = –2, thay vào (1), ta được: y = –(–2)² = –4.

Với x₂ = 1, thay vào (2), ta được: y = –1² = –1.

Như vậy, đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có tọa độ là (–2; –4) và (1; –1).

Vậy độ dài đoạn thẳng AB là:

\[AB = \sqrt {{{\left( { - 2 - 1} \right)}^2} + {{\left[ { - 4 - \left( { - 1} \right)} \right]}^2}} = \sqrt {18} = 3\sqrt 2 .\]