Cho đường thẳng y = 6x + 9 tiếp xúc với parabol (P): y = –x² tại điểm M. Độ dài đoạn thẳng OM là

Đáp án đúng là: C

– Giả sử A(x_A; y_A) và B(x_B; y_B). Ta cần tính khoảng cách giữa hai điểm A và B là độ dài đoạn thẳng AB.

Qua A, B lần lượt kẻ đường thẳng song song với Ox, Oy. Hai đường thẳng này cắt nhau tại H. Khi đó tam giác ABH vuông tại H.

⦁ AH // Ox nên AH = |x_A – x_H| = |x_A – x_B|.

⦁ BH // Oy nên BH = |y_A – y_H| = |y_A – y_B|.

⦁ \(AB = \sqrt {A{H^2} + B{H^2}} = \sqrt {{{\left( {{x_A} - {x_B}} \right)}^2} + {{\left( {{y_A} - {y_B}} \right)}^2}} \) (Áp dụng định lí Pythagore cho ∆ABH vuông tại H).

– Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm của đường thẳng y = 6x + 9 và parabol (P): y = –x², khi đó ta có:

y = –x² (1) và y = 6x + 9.

Suy ra –x² = 6x + 9 hay x² + 6x + 9 = 0 (*).

Phương trình (*) có ∆' = 3² – 1.9 = 0.

Do đó phương trình (*) có nghiệm kép là: \({x_1} = {x_2} = \frac{{ - 3}}{1} = - 3.\)

Thay x = –3 vào hàm số y = –x², ta được: y = –(–3)² = –9.

Như vậy, đường thẳng y = 6x + 9 tiếp xúc với (P): y = –x² tại điểm M(–3; –9).

Vậy độ dài đoạn thẳng OM là:

\(OM = \sqrt {{{\left( { - 3 - 0} \right)}^2} + {{\left( { - 9 - 0} \right)}^2}} = \sqrt {90} = 3\sqrt {10} .\)