Cho hàm số y = x² có đồ thị là (P). Đường thẳng đi qua hai điểm thuộc (P) có hoành độ bằng –1 và 2 là

Đáp án đúng là: B

Cách 1. ⦁ Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm (nếu có) của đường thẳng y = –x + 2 và parabol (P): y = x², khi đó ta có:

y = x² và y = –x + 2.

Suy ra x² = –x + 2 hay x² + x – 2 = 0 (*).

Phương trình (*) có ∆ = 1² – 4.1.(–2) = 9 > 0 và \(\sqrt \Delta = \sqrt 9 = 3.\)

Do đó phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt là:

\({x_1} = \frac{{ - 1 - 3}}{{2 \cdot 1}} = - 2;\,\,{x_2} = \frac{{ - 1 + 3}}{{2 \cdot 1}} = 1.\)

Như vậy, đường thẳng y = –x + 2 cắt parabol (P): y = x² tại hai điểm có hoành độ lần lượt là –2 và 1. Do đó phương án A không thỏa mãn yêu cầu đề bài.

⦁ Giải tương tự, ta có hai đường thẳng y = –x – 2 và y = x – 2 đều không cắt parabol (P): y = x² nên không thỏa mãn yêu cầu đề bài.

⦁ Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm (nếu có) của đường thẳng y = x + 2 và parabol (P): y = x², khi đó ta có:

y = x² và y = x + 2.

Suy ra x² = x + 2 hay x² – x – 2 = 0 (*).

Phương trình (*) có ∆ = (–1)² – 4.1.(–2) = 9 > 0 và \(\sqrt \Delta = \sqrt 9 = 3.\)

Do đó phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt là:

\({x_1} = \frac{{ - \left( { - 1} \right) - 3}}{{2 \cdot 1}} = - 1;\,\,{x_2} = \frac{{ - \left( { - 1} \right) + 3}}{{2 \cdot 1}} = 2.\)

Như vậy, đường thẳng y = x + 2 cắt parabol (P): y = x² tại hai điểm có hoành độ lần lượt là –1 và 2. Do đó phương án B thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Vậy ta chọn phương án B.

Cách 2. Thay x = –1 vào hàm số y = x², ta được: y = (–1)² = 1.

Thay x = 2 vào hàm số y = x², ta được: y = 2² = 4.

Do đó, đường thẳng (d) cần tìm cắt parabol (P): y = x² tại hai điểm phân biệt (–1; 1) và (2; 4).

Giả sử đường thẳng (d) cần tìm là đồ thị của hàm số y = ax + b.

Thay x = –1 và y = 1 vào hàm số trên, ta được: 1 = a.(–1) + b hay –a + b = 1.

Thay x = 2 và y = 4 vào hàm số trên, ta được: 4 = a.2 + b hay 2a + b = 4.

Ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l} - a + b = 1\\2a + b = 4\end{array} \right..\)

Giải hệ phương trình trên bằng máy tính cầm tay ta được nghiệm là (a; b) = (1; 2).

Vậy đường thẳng (d) cần tìm có hàm số là: y = x + 2. Ta chọn phương án B.