Cho phương trình x² – 2mx + m – 1 = 0 (với m là tham số). Có bao nhiêu giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ thỏa mãn \(\sqrt {{x_1}} + \sqrt {{x_2}} = 2?\)

Đáp án đúng là: B

Xét phương trình x² – 2mx + m – 1 = 0 là phương trình bậc hai ẩn x có:

\(\Delta ' = {\left( { - m} \right)^2} - 1 \cdot \left( {m - 1} \right) = {m^2} - m + 1 = {\left( {m - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} > 0\) với mọi m.

Khi đó phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ với mọi m.

Theo định lí Viète ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m\\{x_1}{x_2} = m - 1\end{array} \right..\)

⦁ Để tồn tại \(\sqrt {{x_1}} ,\,\,\sqrt {{x_2}} \) thì ta cần có \({x_1} \ge 0,\,\,{x_2} \ge 0\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} \ge 0\\{x_1}{x_2} \ge 0\end{array} \right.\)

Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}2m \ge 0\\m - 1 \ge 0\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}m \ge 0\\m \ge 1\end{array} \right.\) nên m ≥ 1.

⦁ Với m ≥ 1, ta có:

\(\sqrt {{x_1}} + \sqrt {{x_2}} = 2\) nên \({\left( {\sqrt {{x_1}} + \sqrt {{x_2}} } \right)^2} = 4\) hay \({x_1} + {x_2} + 2\sqrt {{x_1}{x_2}} = 4\)

Suy ra:

\(2m + 2\sqrt {m - 1} = 4\)

\(2\sqrt {m - 1} = 4 - 2m\)

\(\sqrt {m - 1} = 2 - m\,\,\,\left( * \right)\)

Để giải được phương trình trên, ta bình phương hai vế, tuy nhiên cần điều kiện hai vế không âm, tức là 2 – m ≥ 0 hay m ≤ 2.

Kết hợp 2 điều kiện, ta được: 1 ≤ m ≤ 2.

Với 1 ≤ m ≤ 2, bình phương hai vế phương trình (*) ta được:

m – 1 = (2 – m)²

m – 1 = 4 – 4m + m²

m² – 5m + 5 = 0 (**)

Phương trình (**) có ∆_m = (–5)² – 4.1.5 = 25 – 20 = 5 > 0.

Do đó phương trình (**) có hai nghiệm phân biệt là:

\[m = \frac{{5 + \sqrt 5 }}{2};\,\,m = \frac{{5 - \sqrt 5 }}{2}.\]

Kết hợp điều kiện 1 ≤ m ≤ 2, ta có \[m = \frac{{5 - \sqrt 5 }}{2}.\]

Vậy có 1 giá trị của m là \[m = \frac{{5 - \sqrt 5 }}{2}\] thỏa mãn yêu cầu đề bài.