Câu hỏi:

26/05/2025 199

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = (m – 2)x + 3m (với m là tham số). Giá trị của m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt nằm ở hai phía trục tung là

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Đáp án đúng là: D

Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) nếu có. Khi đó, ta có:

x2 = (m – 2)x + 3m hay x− (m – 2)x − 3m = 0. (*)

Đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt nằm ở hai phía trục tung khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm trái dấu, tức là −3m < 0, hay m > 0.

Vậy ta chọn phương án D.

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Đáp án đúng là: C

Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) nếu có. Khi đó, ta có:

x2 = 2mx – 2m + 3 hay x2 − 2mx + 2m – 3 = 0. (*)

Phương trình (*) có:

∆' = (−m)2 – 1.(2m – 3) = m2 – 2m + 3 = (m – 1)2 + 2 > 0, với mọi m.

Do đó phương trình (*) luôn có hai nghiệm x1, x2 phân biệt, hay đường thẳng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt có tọa độ (x1; y1); (x2; y2).

Khi đó, ta có: \[{y_1} = x_1^2;\,\,{y_2} = x_2^2.\]

Theo định lí Viète, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2}\; = 2m\\{x_1}{x_2} = 2m - 3\end{array} \right..\)

Theo bài, tung độ hai giao điểm không vượt quá 9 tức là y1 + y2 ≤ 9, suy ra \[x_1^2 + x_2^2 \le 9\]

Ta có:

\[x_1^2 + x_2^2 \le 9\]

(x1 + x2)2 – 2x1x2 ≤ 9

(2m)2 – 2.(2m – 3) ≤ 9

4m2 – 4m – 3 ≤ 0

(4m2 – 6m) + (2m – 3) ≤ 0

2m(2m – 3) + (2m – 3) ≤ 0

(2m – 3)(2m + 1) ≤ 0

2m – 3 ≤ 0 và 2m + 1 ≥ 0 (do 2m – 3 < 2m + 1).

\(m \le \frac{3}{2}\) và \(m \ge - \frac{1}{2}\)

\( - \frac{1}{2} \le m \le \frac{3}{2}\)

Mà m là số nguyên nên m ∈ {0; 1}.

Vậy có 2 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Lời giải

Đáp án đúng là: B

Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) nếu có. Khi đó, ta có:

x2 = mx + m + 1 hay x2 – mx – m – 1 = 0. (*)

Phương trình (*) có:

∆ = (–m)2 – 4.1.(–m – 1) = m2 + 4m + 4 = (m + 2)2 ≥ 0 với mọi m.

Do đó phương trình (*) luôn có hai nghiệm x1, x2 nên đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm có hoành độ x1, x2.

Theo định lí Viète, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2}\; = m\\{x_1}{x_2} = - m - 1\end{array} \right..\)

Đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt nằm bên trái trục tung, tức là hoành độ hai giao điểm có giá trị âm và khác nhau, điều này xảy ra khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm âm phân biệt, tức là \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\{x_1} + {x_2}\; < 0\\{x_1}{x_2} > 0\end{array} \right.,\) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {m + 2} \right)^2} > 0\\m < 0\\ - m - 1 > 0\end{array} \right.,\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}m + 2 \ne 0\\m < 0\\m < - 1\end{array} \right.,\) do đó m < –1 và m ≠ –2.

Vậy ta chọn phương án B.