Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P): y = x² và đường thẳng (d): y = 2mx – 2m + 3 (với m là tham số). Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt thỏa mãn tổng tung độ hai giao điểm không vượt quá 9?

Đáp án đúng là: B

Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) nếu có. Khi đó, ta có:

x² = mx + m + 1 hay x² – mx – m – 1 = 0. (*)

Phương trình (*) có:

∆ = (–m)² – 4.1.(–m – 1) = m² + 4m + 4 = (m + 2)² ≥ 0 với mọi m.

Do đó phương trình (*) luôn có hai nghiệm x₁, x₂ nên đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm có hoành độ x₁, x₂.

Theo định lí Viète, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2}\; = m\\{x_1}{x_2} = - m - 1\end{array} \right..\)

Đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt nằm bên trái trục tung, tức là hoành độ hai giao điểm có giá trị âm và khác nhau, điều này xảy ra khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm âm phân biệt, tức là \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\{x_1} + {x_2}\; < 0\\{x_1}{x_2} > 0\end{array} \right.,\) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {m + 2} \right)^2} > 0\\m < 0\\ - m - 1 > 0\end{array} \right.,\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}m + 2 \ne 0\\m < 0\\m < - 1\end{array} \right.,\) do đó m < –1 và m ≠ –2.

Vậy ta chọn phương án B.

Đáp án đúng là: C

Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) nếu có. Khi đó, ta có:

x² = (m – 3)x – m + 4 hay x² – (m – 3)x + m – 4 = 0. (*)

Phương trình (*) có:

∆ = [–(m – 3)]² – 4.1.(m – 4) = m² – 6m + 9 – 4m + 16

= m² – 10m + 25 = (m – 5)² ≥ 0 với mọi m.

Để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x₁, x₂ thì phương trình (*) phải có hai nghiệm phân biệt có hoành độ x₁, x₂, tức là ∆ > 0, hay (m – 5)² > 0, suy ra (m – 5)² ≠ 0, do đó m – 5 ≠ 0 nên m ≠ 5.

Theo định lí Viète, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{\rm{ }}{x_1} + {x_2} = m - 3\\{\rm{ }}{x_1}{x_2} = m - 4\end{array} \right..\)

Để x₁, x₂ là độ dài hai cạnh của một tam giác thì: x₁ > 0 và x₂ > 0.

Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} > 0\\{x_1}{x_2} > 0\end{array} \right.,\) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}m - 3 > 0\\m - 4 > 0\end{array} \right.\) do đó \(\left\{ \begin{array}{l}m > 3\\m > 4\end{array} \right.\) nên m > 4.

Vì ∆ = (m – 5)² nên hai nghiệm của phương trình (*) là:

\[x = \frac{{m - 3 - \left( {m - 5} \right)}}{{2 \cdot 1}} = 1;\,\,x = \frac{{m - 3 + \left( {m - 5} \right)}}{{2 \cdot 1}} = m - 4.\]

Do x₁ ≠ x₂ nên x₁, x₂ không thể cùng là độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông cân.

Giả sử x₁ là độ dài cạnh huyền, x₂ là độ dài cạnh góc vuông thì theo định lí Pythagore, ta có \(x_1^2 = {\rm{ }}x_2^2 + x_2^2\)

Suy ra \({x_1} = {\rm{ }}\sqrt 2 {x_2}\) (do x₁ > 0 và x₂ > 0).

⦁ Trường hợp 1. x₁ = 1 và x₂ = m – 4.

Thay vào \({x_1} = {\rm{ }}\sqrt 2 {x_2},\) ta có:

\(1 = \sqrt 2 \left( {m - 4} \right),\) suy ra \(m = \frac{1}{{\sqrt 2 }} + 4\) (thỏa mãn m > 4 và m ≠ 5).

⦁ Trường hợp 2. x₁ = m – 4 và x₂ = 1.

Thay vào \({x_1} = {\rm{ }}\sqrt 2 {x_2},\) ta có:

\(m - {\rm{4 = }}\sqrt 2 \cdot 1,\) suy ra \(m = \sqrt 2 + 4\) (thỏa mãn m > 4 và m ≠ 5).

Vậy có hai giá trị của m thỏa mãn yêu cầu đề bài là \(m = \frac{1}{{\sqrt 2 }} + 4,\,\,m = \sqrt 2 + 4.\)