Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P): y = x² và đường thẳng (d): y = (m – 3)x – m + 4 (với m là tham số). Có bao nhiêu giá trị của m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x₁, x₂ là độ dài hai cạnh của một tam giác vuông cân?

Đáp án đúng là: C

Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) nếu có. Khi đó, ta có:

x² = (m – 3)x – m + 4 hay x² – (m – 3)x + m – 4 = 0. (*)

Phương trình (*) có:

∆ = [–(m – 3)]² – 4.1.(m – 4) = m² – 6m + 9 – 4m + 16

= m² – 10m + 25 = (m – 5)² ≥ 0 với mọi m.

Để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x₁, x₂ thì phương trình (*) phải có hai nghiệm phân biệt có hoành độ x₁, x₂, tức là ∆ > 0, hay (m – 5)² > 0, suy ra (m – 5)² ≠ 0, do đó m – 5 ≠ 0 nên m ≠ 5.

Theo định lí Viète, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{\rm{ }}{x_1} + {x_2} = m - 3\\{\rm{ }}{x_1}{x_2} = m - 4\end{array} \right..\)

Để x₁, x₂ là độ dài hai cạnh của một tam giác thì: x₁ > 0 và x₂ > 0.

Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} > 0\\{x_1}{x_2} > 0\end{array} \right.,\) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}m - 3 > 0\\m - 4 > 0\end{array} \right.\) do đó \(\left\{ \begin{array}{l}m > 3\\m > 4\end{array} \right.\) nên m > 4.

Vì ∆ = (m – 5)² nên hai nghiệm của phương trình (*) là:

\[x = \frac{{m - 3 - \left( {m - 5} \right)}}{{2 \cdot 1}} = 1;\,\,x = \frac{{m - 3 + \left( {m - 5} \right)}}{{2 \cdot 1}} = m - 4.\]

Do x₁ ≠ x₂ nên x₁, x₂ không thể cùng là độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông cân.

Giả sử x₁ là độ dài cạnh huyền, x₂ là độ dài cạnh góc vuông thì theo định lí Pythagore, ta có \(x_1^2 = {\rm{ }}x_2^2 + x_2^2\)

Suy ra \({x_1} = {\rm{ }}\sqrt 2 {x_2}\) (do x₁ > 0 và x₂ > 0).

⦁ Trường hợp 1. x₁ = 1 và x₂ = m – 4.

Thay vào \({x_1} = {\rm{ }}\sqrt 2 {x_2},\) ta có:

\(1 = \sqrt 2 \left( {m - 4} \right),\) suy ra \(m = \frac{1}{{\sqrt 2 }} + 4\) (thỏa mãn m > 4 và m ≠ 5).

⦁ Trường hợp 2. x₁ = m – 4 và x₂ = 1.

Thay vào \({x_1} = {\rm{ }}\sqrt 2 {x_2},\) ta có:

\(m - {\rm{4 = }}\sqrt 2 \cdot 1,\) suy ra \(m = \sqrt 2 + 4\) (thỏa mãn m > 4 và m ≠ 5).

Vậy có hai giá trị của m thỏa mãn yêu cầu đề bài là \(m = \frac{1}{{\sqrt 2 }} + 4,\,\,m = \sqrt 2 + 4.\)