Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P): y = x² và đường thẳng (d): y = (m – 3)x – m + 4 (với m là tham số). Có bao nhiêu giá trị của m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x₁, x₂ là độ dài hai cạnh của một tam giác vuông cân?

Đáp án đúng là: C

Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) nếu có. Khi đó, ta có:

x² = 2mx – 2m + 3 hay x² − 2mx + 2m – 3 = 0. (*)

Phương trình (*) có:

∆' = (−m)² – 1.(2m – 3) = m² – 2m + 3 = (m – 1)² + 2 > 0, với mọi m.

Do đó phương trình (*) luôn có hai nghiệm x₁, x₂ phân biệt, hay đường thẳng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt có tọa độ (x₁; y₁); (x₂; y₂).

Khi đó, ta có: \[{y_1} = x_1^2;\,\,{y_2} = x_2^2.\]

Theo định lí Viète, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2}\; = 2m\\{x_1}{x_2} = 2m - 3\end{array} \right..\)

Theo bài, tung độ hai giao điểm không vượt quá 9 tức là y₁ + y₂ ≤ 9, suy ra \[x_1^2 + x_2^2 \le 9\]

Ta có:

\[x_1^2 + x_2^2 \le 9\]

(x₁ + x₂)² – 2x₁x₂ ≤ 9

(2m)² – 2.(2m – 3) ≤ 9

4m² – 4m – 3 ≤ 0

(4m² – 6m) + (2m – 3) ≤ 0

2m(2m – 3) + (2m – 3) ≤ 0

(2m – 3)(2m + 1) ≤ 0

2m – 3 ≤ 0 và 2m + 1 ≥ 0 (do 2m – 3 < 2m + 1).

\(m \le \frac{3}{2}\) và \(m \ge - \frac{1}{2}\)

\( - \frac{1}{2} \le m \le \frac{3}{2}\)

Mà m là số nguyên nên m ∈ {0; 1}.

Vậy có 2 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Đáp án đúng là: B

Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) nếu có. Khi đó, ta có:

x² = mx + m + 1 hay x² – mx – m – 1 = 0. (*)

Phương trình (*) có:

∆ = (–m)² – 4.1.(–m – 1) = m² + 4m + 4 = (m + 2)² ≥ 0 với mọi m.

Do đó phương trình (*) luôn có hai nghiệm x₁, x₂ nên đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm có hoành độ x₁, x₂.

Theo định lí Viète, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2}\; = m\\{x_1}{x_2} = - m - 1\end{array} \right..\)

Đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt nằm bên trái trục tung, tức là hoành độ hai giao điểm có giá trị âm và khác nhau, điều này xảy ra khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm âm phân biệt, tức là \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\{x_1} + {x_2}\; < 0\\{x_1}{x_2} > 0\end{array} \right.,\) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {m + 2} \right)^2} > 0\\m < 0\\ - m - 1 > 0\end{array} \right.,\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}m + 2 \ne 0\\m < 0\\m < - 1\end{array} \right.,\) do đó m < –1 và m ≠ –2.

Vậy ta chọn phương án B.