Câu hỏi:

26/05/2025 215

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = 2(m – 1)x – m – 5 (với m là tham số). Có bao nhiêu giá trị của m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 là độ dài hai cạnh của tam giác vuông có đường chéo là \(\sqrt {10} ?\)

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Đáp án đúng là: A

Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) nếu có. Khi đó, ta có:

x2 = 2(m – 1)x – m – 5 hay x2 – 2(m – 1)x + m + 5 = 0. (*)

Phương trình (*) có:

∆' = [–(m – 1)]2 – 1.(m + 5) = m2 – 2m + 1 – m – 5 = m2 – 3m – 4.

Để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 thì phương trình (*) phải có hai nghiệm phân biệt x1, x2, tức là ∆' > 0, hay m2 – 3m – 4 > 0.

Giải bất phương trình:

m2 – 3m – 4 > 0

m2 – 4m + m – 4 > 0

m(m – 4) + (m – 4) > 0

(m – 4)(m + 1) > 0

Trường hợp 1. m – 4 > 0 và m + 1 > 0

Suy ra m > 4 và m > –1

Do đó m > 4.

Trường hợp 2. m – 4 < 0 và m + 1 < 0

Suy ra m < 4 và m < –1

Do đó m < –1.

Như vậy, với m < –1 hoặc m > 4 thì đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1, x2.

Theo định lí Viète, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\left( {m - 1} \right)\\{x_1}{x_2} = m + 5\end{array} \right..\)

Để x1, x2 là độ dài hai cạnh của một tam giác thì: x1 > 0 và x2 > 0.

Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} > 0\\{x_1}{x_2} > 0\end{array} \right.,\) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}2\left( {m - 1} \right) > 0\\m + 5 > 0\end{array} \right.\) do đó \(\left\{ \begin{array}{l}m > 1\\m > - 5\end{array} \right.\) nên m > 1.

Kết hợp các điều kiện tìm được ở trên, ta có: m > 4.

Do x1, x2 là độ dài hai cạnh của tam giác vuông có đường chéo là \(\sqrt {10} \) nên áp dụng định lí Pythagore ta có:

\(x_1^2 + x_2^2 = 10\)

(x1 + x2)2 – 2x1x2 = 10

[2(m – 1)]2 – 2.(m + 5) = 10

4m2 – 8m + 4 – 2m – 10 = 10

4m2 – 10m – 16 = 0

2m2 – 5m – 8 = 0

Phương trình trên có ∆m = (–5)2 – 4.2.(–8) = 89 > 0.

Do đó phương trình trên có hai nghiệm phân biệt là:

\({m_1} = \frac{{5 + \sqrt {89} }}{4};\,\,{m_2} = \frac{{5 - \sqrt {89} }}{4}.\)

Kết hợp điều kiện m > 4, ta thấy cả hai giá trị m tìm được ở trên đều không thỏa mãn.

Vậy không có giá trị nào của m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Đáp án đúng là: C

Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) nếu có. Khi đó, ta có:

x2 = 2mx – 2m + 3 hay x2 − 2mx + 2m – 3 = 0. (*)

Phương trình (*) có:

∆' = (−m)2 – 1.(2m – 3) = m2 – 2m + 3 = (m – 1)2 + 2 > 0, với mọi m.

Do đó phương trình (*) luôn có hai nghiệm x1, x2 phân biệt, hay đường thẳng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt có tọa độ (x1; y1); (x2; y2).

Khi đó, ta có: \[{y_1} = x_1^2;\,\,{y_2} = x_2^2.\]

Theo định lí Viète, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2}\; = 2m\\{x_1}{x_2} = 2m - 3\end{array} \right..\)

Theo bài, tung độ hai giao điểm không vượt quá 9 tức là y1 + y2 ≤ 9, suy ra \[x_1^2 + x_2^2 \le 9\]

Ta có:

\[x_1^2 + x_2^2 \le 9\]

(x1 + x2)2 – 2x1x2 ≤ 9

(2m)2 – 2.(2m – 3) ≤ 9

4m2 – 4m – 3 ≤ 0

(4m2 – 6m) + (2m – 3) ≤ 0

2m(2m – 3) + (2m – 3) ≤ 0

(2m – 3)(2m + 1) ≤ 0

2m – 3 ≤ 0 và 2m + 1 ≥ 0 (do 2m – 3 < 2m + 1).

\(m \le \frac{3}{2}\) và \(m \ge - \frac{1}{2}\)

\( - \frac{1}{2} \le m \le \frac{3}{2}\)

Mà m là số nguyên nên m ∈ {0; 1}.

Vậy có 2 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Lời giải

Đáp án đúng là: B

Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) nếu có. Khi đó, ta có:

x2 = mx + m + 1 hay x2 – mx – m – 1 = 0. (*)

Phương trình (*) có:

∆ = (–m)2 – 4.1.(–m – 1) = m2 + 4m + 4 = (m + 2)2 ≥ 0 với mọi m.

Do đó phương trình (*) luôn có hai nghiệm x1, x2 nên đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm có hoành độ x1, x2.

Theo định lí Viète, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2}\; = m\\{x_1}{x_2} = - m - 1\end{array} \right..\)

Đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt nằm bên trái trục tung, tức là hoành độ hai giao điểm có giá trị âm và khác nhau, điều này xảy ra khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm âm phân biệt, tức là \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\{x_1} + {x_2}\; < 0\\{x_1}{x_2} > 0\end{array} \right.,\) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {m + 2} \right)^2} > 0\\m < 0\\ - m - 1 > 0\end{array} \right.,\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}m + 2 \ne 0\\m < 0\\m < - 1\end{array} \right.,\) do đó m < –1 và m ≠ –2.

Vậy ta chọn phương án B.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP