Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P): y = x² và đường thẳng (d): y = 2(m – 1)x – m – 5 (với m là tham số). Có bao nhiêu giá trị của m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x₁, x₂ là độ dài hai cạnh của tam giác vuông có đường chéo là \(\sqrt {10} ?\)

Đáp án đúng là: A

Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) nếu có. Khi đó, ta có:

x² = 2(m – 1)x – m – 5 hay x² – 2(m – 1)x + m + 5 = 0. (*)

Phương trình (*) có:

∆' = [–(m – 1)]² – 1.(m + 5) = m² – 2m + 1 – m – 5 = m² – 3m – 4.

Để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x₁, x₂ thì phương trình (*) phải có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂, tức là ∆' > 0, hay m² – 3m – 4 > 0.

Giải bất phương trình:

m² – 3m – 4 > 0

m² – 4m + m – 4 > 0

m(m – 4) + (m – 4) > 0

(m – 4)(m + 1) > 0

⦁ Trường hợp 1. m – 4 > 0 và m + 1 > 0

Suy ra m > 4 và m > –1

Do đó m > 4.

⦁ Trường hợp 2. m – 4 < 0 và m + 1 < 0

Suy ra m < 4 và m < –1

Do đó m < –1.

Như vậy, với m < –1 hoặc m > 4 thì đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x₁, x₂.

Theo định lí Viète, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\left( {m - 1} \right)\\{x_1}{x_2} = m + 5\end{array} \right..\)

Để x₁, x₂ là độ dài hai cạnh của một tam giác thì: x₁ > 0 và x₂ > 0.

Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} > 0\\{x_1}{x_2} > 0\end{array} \right.,\) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}2\left( {m - 1} \right) > 0\\m + 5 > 0\end{array} \right.\) do đó \(\left\{ \begin{array}{l}m > 1\\m > - 5\end{array} \right.\) nên m > 1.

Kết hợp các điều kiện tìm được ở trên, ta có: m > 4.

Do x₁, x₂ là độ dài hai cạnh của tam giác vuông có đường chéo là \(\sqrt {10} \) nên áp dụng định lí Pythagore ta có:

\(x_1^2 + x_2^2 = 10\)

(x₁ + x₂)² – 2x₁x₂ = 10

[2(m – 1)]² – 2.(m + 5) = 10

4m² – 8m + 4 – 2m – 10 = 10

4m² – 10m – 16 = 0

2m² – 5m – 8 = 0

Phương trình trên có ∆_m = (–5)² – 4.2.(–8) = 89 > 0.

Do đó phương trình trên có hai nghiệm phân biệt là:

\({m_1} = \frac{{5 + \sqrt {89} }}{4};\,\,{m_2} = \frac{{5 - \sqrt {89} }}{4}.\)

Kết hợp điều kiện m > 4, ta thấy cả hai giá trị m tìm được ở trên đều không thỏa mãn.

Vậy không có giá trị nào của m thỏa mãn yêu cầu đề bài.