Một cấp số nhân có 7 số hạng và có công bội \(q\) nguyên. Biết rằng ba số hạng đầu của cấp số nhân lần lượt là \(x - 6;\,\,2 - x;\,\,18\) (với \(x \in \mathbb{R}\)).

a) Ta có \(q = \frac{{18}}{{2 - x}}\).

b) \({\left( {2 - x} \right)^2} = 18\left( {x - 6} \right)\).

c) Có hai cấp số nhân thỏa mãn điều kiện đầu bài.

d) Tổng tất cả các số hạng của cấp số nhân bằng \(1\,094\).

Theo định nghĩa cấp số nhân ta có \(18 = \left( {2 - x} \right)q\).

Do \(18 = \left( {2 - x} \right)q\) nên \(x \ne 2\), suy ra \(q = \frac{{18}}{{2 - x}}\).

Tương tự, ta có\(\,2 - x = \left( {x - 6} \right)q \Leftrightarrow 2 - x = \left( {x - 6} \right) \cdot \frac{{18}}{{2 - x}}\)\( \Leftrightarrow {\left( {\,2 - x} \right)^2} = 18\left( {x - 6} \right)\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 4 = 18x - 108\)\( \Leftrightarrow {x^2} - 22x + 112 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 8\\x = 14\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}q = - 3\\q = - \frac{3}{2}\,\,\left( L \right)\end{array} \right.\).

Vậy có 1 cấp số nhân thỏa mãn điều kiện đầu bài.

Với \(\left\{ \begin{array}{l}q = - 3\\x = 8\end{array} \right.\) thì \({u_1} = x - 6 = 2\).

Tổng tất cả các số hạng của cấp số nhân bằng \({S_7} = {u_1} \cdot \frac{{1 - {q^7}}}{{1 - q}} = 2 \cdot \frac{{1 - {{\left( { - 3} \right)}^7}}}{{1 - \left( { - 3} \right)}} = 1094\).

Đáp án:           a) Đúng,          b) Đúng,         c) Sai,              d) Đúng.