Biết giá trị của tổng \[S = 1 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot {5^2} + ... + 2020 \cdot {5^{2019}}\] có dạng \[a + b \cdot {5^{2020}}\] với \[a,\,\,b \in \mathbb{Q}\]. Tính \[a + b\].

Ta có $S=1+2\cdot 5+3\cdot 5^2+\mathrm{...}+2020\cdot 5^{2019}$  (1)

Suy ra \[5S = 5 + 2 \cdot {5^2} + 3 \cdot {5^3} + ... + 2020 \cdot {5^{2020}}\]      \(\left( 2 \right)\).

Lấy \(\left( 1 \right)\) trừ \(\left( 2 \right)\) vế theo vế ta được:

\(S - 4S = 1 + \left( {2 \cdot 5 - 5} \right) + \left( {3 \cdot {5^2} - 2 \cdot {5^2}} \right) + ... + \left( {2020 \cdot {5^{2019}} - 2019 \cdot {5^{2019}}} \right) - 2020 \cdot {5^{2020}}\)

\[ \Leftrightarrow - 4S = 1 + 5 + {5^2} + {5^3} + ... + {5^{2019}} - 2020 \cdot {5^{2020}}\]\[ \Leftrightarrow - 4S = 1 + \left( {5 \cdot \frac{{{5^{2019}} - 1}}{{5 - 1}}} \right) - 2020 \cdot {5^{2020}}\]

\[ \Leftrightarrow - 4S = 1 + \left( {5 \cdot \frac{{{5^{2019}} - 1}}{4}} \right) - 2020 \cdot {5^{2020}}\]\[ \Leftrightarrow - 4S = - \frac{1}{4} - \frac{{8079}}{4} \cdot {5^{2020}}\]\[ \Leftrightarrow S = \frac{1}{{16}} + \frac{{8079}}{{16}} \cdot {5^{2020}}\].

Vậy \[a + b = \frac{1}{{16}} + \frac{{8079}}{{16}} = 505\].

Đáp án: \(505\).