Biết giá trị của tổng \[S = 1 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot {5^2} + ... + 2020 \cdot {5^{2019}}\] có dạng \[a + b \cdot {5^{2020}}\] với \[a,\,\,b \in \mathbb{Q}\]. Tính \[a + b\].

Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_5} = 18\) và \(4{S_n} = {S_{2n}}\) (trong đó \({S_n},{S_{2n}}\) theo thứ tự là tổng của \(n\) và \(2n\) số hạng đầu của cấp số cộng).

a) Số hạng đầu của cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) bằng \(2\).

b) Công sai của cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) bằng \(3\).

c) Số hạng \({u_{15}} = 58\).

d) Tổng 15 số hạng đầu của cấp số cộng bằng \(350\).

Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) thoả mãn \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_2} =  - 6}\\{{u_2} + {u_3} = 12}\end{array}} \right.\).

a) Số hạng \({u_3} = 18\).

b) Gọi \(q\) là công bội của cấp số nhân, thì ba số \(q\,;\,{u_1}\,;\,7\) tạo thành một cấp số cộng.

c) Số \(13\,122\) là số hạng thứ 11 của cấp số nhân.

d) Biết tổng \(S = {u_{11}} + {u_{12}} + ... + {u_{50}}\) bằng \(\frac{{a - {3^{50}}}}{2}\). Giá trị \(a\) là \(59\,049\).

Cho số thực \(a\) khác \(0\), xét dãy số gồm các số sau:

\({u_1} = \frac{a}{2} + \frac{2}{a}\,\,;\,\,{u_2} = {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{2}{a}} \right)^2}\,\,;\,\,{u_3} = {\left( {\frac{a}{2}} \right)^3} + {\left( {\frac{2}{a}} \right)^3}\).

Tìm \(a\) sao cho \({u_1}\,;\,{u_2}\,;\,{u_3}\) theo thứ tự lập thành một cấp số cộng.

Tổng tất cả các số hạng của một cấp số nhân có số hạng đầu là \(\frac{1}{2}\), số hạng thứ tư là \(32\) và số hạng cuối là \(2048\) bằng \(\frac{P}{2}\). Giá trị của \(P\) bằng bao nhiêu?