Người ta thống kê được chi phí sửa chữa, vận hành máy móc trong một năm của một xưởng sản xuất được tính bởi công thức \(f\left( x \right) = \frac{{2000x - 1500}}{{35x + 5}}\)(triệu đồng). Biết \(x\) là số năm kể từ lúc máy móc vận hành lần đầu tiên, số năm càng nhiều thì chi phí càng cao. Khi số năm \(x\) đủ lớn thì chi phí vận hành máy móc trong một năm gần với số nào? (làm tròn kết quả đến 1 chữ số thập phân sau dấu phẩy).

Tập xác định của hàm số \(y = f\left( x \right)\) là \[D = \mathbb{R}\].

Từ đồ thị, ta thấy hàm số đạt cực đại tại \(x = 0\), ; đạt cực tiểu tại \(x = 2\), \({y_{CT}} =  - 2\).

Hai cực trị  và \({y_{CT}} =  - 2\) trái dấu.

Ta có \(f'\left( x \right) = ax\left( {x - 2} \right) = a{x^2} - 2ax \Rightarrow f\left( x \right) = \frac{a}{3}{x^3} - a{x^2} + d\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( 0 \right) = 2\\f\left( 2 \right) =  - 2\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\d = 2\end{array} \right. \Rightarrow f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + 2\). Vậy \(f\left( 5 \right) = 52\).

Đồ thị hàm số có có hai điểm cực trị là \(A\left( {0;2} \right),\,\,B\left( {2; - 2} \right)\).

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là \(d:\frac{{x - 0}}{{2 - 0}} = \frac{{y - 2}}{{ - 2 - 2}} \Rightarrow d:2x + y - 2 = 0\).

Khoảng cách từ \(O\) đến đường thẳng \(d\) là \(\frac{{\left| { - 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2}} }} = \frac{2}{{\sqrt 5 }}\).

Ta có \(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 6x\). Xét hàm số \(g\left( x \right) = f\left( x \right) - \left( {3x - 2{x^3}} \right)\).

Có \(g\prime \left( x \right) = f\prime \left( x \right) - \left( {3 - 6{x^2}} \right) = 9{x^2} - 6x - 3\). Cho \(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x =  - \frac{1}{3}\end{array} \right.\).

Bảng xét dấu:

Dựa vào bảng xét dấu, hàm số \(g\left( x \right) = f\left( x \right) - \left( {3x - 2{x^3}} \right)\) đạt cực tiểu tại \(x = 1\).

Đáp án:       a) Đúng,      b) Đúng,     c) Sai,          d) Sai.

Vì \(f'\left( x \right) = 0\) có 3 nghiệm lẻ nên hàm số \(y = f\left( x \right)\) có 3 cực trị. Chọn A.