Để tạo một kiện hàng dạng hình lăng trụ đứng với đáy là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng, người ta dùng các thanh gỗ ghép khít đóng lại với nhau. Biết rằng, dung tích kiện hàng bằng \(9\,{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\) và giá thành  \(1\,{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\) gỗ sử dụng là \(200\,000\) đồng.

Hỏi sau khi hoàn thành kiện hàng đó, người ta cần bỏ ra ít nhất bao nhiêu triệu đồng? (diện tích các mép giữa hai mặt kề nhau không đáng kể).

Tập xác định của hàm số \(y = f\left( x \right)\) là \[D = \mathbb{R}\].

Từ đồ thị, ta thấy hàm số đạt cực đại tại \(x = 0\), ; đạt cực tiểu tại \(x = 2\), \({y_{CT}} =  - 2\).

Hai cực trị  và \({y_{CT}} =  - 2\) trái dấu.

Ta có \(f'\left( x \right) = ax\left( {x - 2} \right) = a{x^2} - 2ax \Rightarrow f\left( x \right) = \frac{a}{3}{x^3} - a{x^2} + d\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( 0 \right) = 2\\f\left( 2 \right) =  - 2\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\d = 2\end{array} \right. \Rightarrow f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + 2\). Vậy \(f\left( 5 \right) = 52\).

Đồ thị hàm số có có hai điểm cực trị là \(A\left( {0;2} \right),\,\,B\left( {2; - 2} \right)\).

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là \(d:\frac{{x - 0}}{{2 - 0}} = \frac{{y - 2}}{{ - 2 - 2}} \Rightarrow d:2x + y - 2 = 0\).

Khoảng cách từ \(O\) đến đường thẳng \(d\) là \(\frac{{\left| { - 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2}} }} = \frac{2}{{\sqrt 5 }}\).

Ta có \(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 6x\). Xét hàm số \(g\left( x \right) = f\left( x \right) - \left( {3x - 2{x^3}} \right)\).

Có \(g\prime \left( x \right) = f\prime \left( x \right) - \left( {3 - 6{x^2}} \right) = 9{x^2} - 6x - 3\). Cho \(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x =  - \frac{1}{3}\end{array} \right.\).

Bảng xét dấu:

Dựa vào bảng xét dấu, hàm số \(g\left( x \right) = f\left( x \right) - \left( {3x - 2{x^3}} \right)\) đạt cực tiểu tại \(x = 1\).

Đáp án:       a) Đúng,      b) Đúng,     c) Sai,          d) Sai.

Ta có thể mô tả bài toán trên bằng hình vẽ sau:

Như đã phân tích ở đề bài, nếu đi trực tiếp từ \(A\) đến \(B\) trên sa mạc với vận tốc và khoảng cách hiện có thì nhà địa chất học không thể đến đúng thời gian quy định. Vì vậy cần thiết phải chia quãng đường đi được thành \(3\) giai đoạn:

Giai đoạn 1: đi từ \(A\) đến \(C\) (từ sa mạc đến đường nhựa song song).

Giai đoạn 2: đi từ \(C\) đến \(D\) (một quãng đường nào đó trên đường nhựa).

Giai đoạn 3: đi từ \(D\) đến \(B\) (từ điểm kết thúc \(D\) trên đường nhựa đi tiếp đến \(B\) băng qua sa mạc).

Gọi \(C,D\) là các điểm như hình vẽ.

Khi đó gọi \(HC = x\,\left( {{\rm{km}}} \right)\,\,\left( {0 < x < 100} \right)\) và \(DK = y\,\,\left( {{\rm{km}}} \right)\,\left( {0 < y < 100} \right)\).

Quãng đường đi từ \(A\) đến \(C\) là \(AC = \sqrt {225 + {x^2}} \left( {{\rm{km}}} \right) \Rightarrow {t_1} = \frac{{AC}}{{{v_{samac}}}} = \frac{{\sqrt {225 + {x^2}} }}{{30}}\) (giờ).

Quãng đường đi từ \(D\) đến \(B\) là \(DB = \sqrt {225 + {y^2}} \,\left( {{\rm{km}}} \right) \Rightarrow {t_2} = \frac{{DB}}{{{v_{samac}}}} = \frac{{\sqrt {225 + {y^2}} }}{{30}}\) (giờ).

Và quãng đường đi \(C\) đến \(D\) là \(CD = 100 - \left( {x + y} \right)\,\,\left( {{\rm{km}}} \right) \Rightarrow {t_3} = \frac{{CD}}{{{v_{duong\,nhua}}}} = \frac{{100 - \left( {x + y} \right)}}{{50}}\) (giờ).

Vậy tổng thời gian mà nhà địa chất học đi từ A đến B là \(t = {t_1} + {t_2} + {t_3}\).

\( \Rightarrow t = T\left( {x;y} \right) = \frac{{\sqrt {225 + {x^2}} }}{{30}} + \frac{{\sqrt {225 + {y^2}} }}{{30}} + \frac{{100 - \left( {x + y} \right)}}{{50}}\).

Đến đây ta cần tìm \(\min T\left( {x;y} \right)\).

Ta có \(T\left( {x;y} \right) = \frac{{\sqrt {225 + {x^2}} }}{{30}} + \frac{{50 - x}}{{50}} + \frac{{\sqrt {225 + {y^2}} }}{{30}} + \frac{{50 - y}}{{50}} = f\left( x \right) + f\left( y \right)\).

Xét hàm số \(f\left( u \right) = \frac{{\sqrt {225 + {u^2}} }}{{30}} + \frac{{50 - u}}{{50}},\,\,0 < u < 100\).

Ta có \[f'\left( u \right) = \frac{u}{{30\sqrt {225 + {u^2}} }} - \frac{1}{{50}},f'\left( u \right) = 0 \Leftrightarrow \sqrt {225 + {u^2}}  = \frac{{5u}}{3} > 0 \Leftrightarrow u = \frac{{45}}{4}\].

Lập bảng biến thiên ta có \(\mathop {\min }\limits_{u \in \left( {0;100} \right)} f\left( u \right) = f\left( {\frac{{45}}{4}} \right) = \frac{7}{5}\).

Do đó ta có \(T\left( {x;y} \right) = f\left( x \right) + f\left( y \right) \ge \frac{7}{5} + \frac{7}{5} = \frac{{14}}{5}\)(giờ) \( = 168\) (phút).

Dấu “=” xảy ra khi \(x = y = \frac{{45}}{4}\).

Đáp án: \(168\).