Cho hình lăng trụ tam giác \[ABC.A'B'C'\] có thể tích là V và độ dài cạnh bên \[AA' = 6\]. Trên các cạnh \[A'A,B'B,C'C\] lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho \[AM = 2,BN = x,CP = y\] với x, y là các số dương thỏa mãn \[xy = 12\]. Biết rằng thể tích khối đa diện \[ABC.MNP\] bằng \[\frac{1}{2}V\]. Giá trị của \[{x^2} + {y^2}\] bằng     

PHẦN III. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy \[ABCD\] là hình thang vuông tại \[A\] và \[D\], \[AB = AD = 2a,\] \(CD = a\). Gọi \(I\) là trung điểm cạnh \[AD,\] biết hai mặt phẳng \[\left( {SBI} \right)\], \[\left( {SCI} \right)\] cùng vuông góc với đáy và \[SI = \frac{{3a\sqrt 5 }}{5}\]. Số đo góc nhị diện \(\left[ {S,BC,D} \right]\) bằng bao nhiêu độ?

Một bể chứa nước hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) được đặt trên một mái nhà nghiêng so với mặt đất nằm ngang góc \(10^\circ ,\,AB = 1{\rm{\;m}},\,AD = 1,5{\rm{\;m}}\), \(AA' = 1{\rm{\;m}}\). Đáy bể là hình chữ nhật \(ABCD\). Các điểm \(A,B\) cùng ở độ cao \(5{\rm{\;m}}\) (so với mặt đất), các điểm \(C,D\) ở độ cao lớn hơn so với độ cao của các điểm \(A,B\). Khi nước trong bể phẳng lặng người ta đo được khoảng cách giữa đường mép nước ở mặt phẳng \(\left( {ABB'A'} \right)\) và mặt đáy của bể là \(80{\rm{\;cm}}\). Tính thể tích của phần nước trong bể (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm theo đơn vị mét khối).

Cho hình chóp \[S.ABC\], có \(SA = SB = SC\), đáy là tam giác đều cạnh bằng \(7\). Biết thể tích khối chóp \[S.ABC\] bằng \(\frac{{343\sqrt 3 }}{3}\). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(SA\) và \(BC\).

Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy \[ABCD\] là hình thoi tâm \[O\], đường thẳng \[SO\] vuông góc với mặt phẳng \[\left( {ABCD} \right)\]. Biết \(BC = SB = a,SO = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\). Tìm số đo của góc giữa đường thẳng \(SB\) và mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\) (làm tròn kết quả đến đơn vị độ).