Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thoi tâm \(O\),\(AB = a,\,\,\widehat {BAD} = 60^\circ \), \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\) tạo với mặt đáy một góc \(60^\circ \). Gọi \(J,\,I\) lần lượt là trung điểm cạnh \(CD,\,DJ\).
a) Diện tích của hình thoi \(ABCD\) là \({S_{ABCD}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\).
b) Góc giữa mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\) và mặt đáy là \(\widehat {SJO}\).
c) Chiều cao của khối chóp là \(\frac{{3a}}{4}\).
d) Thể tích của khối chóp \(S.ABCD\) được viết dưới dạng \(\frac{{{a^3}\sqrt m }}{n}\), với \(m\) là số nguyên tố. Khi đó, \(2024m - n = 6065\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thoi tâm \(O\),\(AB = a,\,\,\widehat {BAD} = 60^\circ \), \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\) tạo với mặt đáy một góc \(60^\circ \). Gọi \(J,\,I\) lần lượt là trung điểm cạnh \(CD,\,DJ\).
a) Diện tích của hình thoi \(ABCD\) là \({S_{ABCD}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\).
b) Góc giữa mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\) và mặt đáy là \(\widehat {SJO}\).
c) Chiều cao của khối chóp là \(\frac{{3a}}{4}\).
d) Thể tích của khối chóp \(S.ABCD\) được viết dưới dạng \(\frac{{{a^3}\sqrt m }}{n}\), với \(m\) là số nguyên tố. Khi đó, \(2024m - n = 6065\).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Tam giác \(ABD\) có \(AD = AB = a,\,\,\widehat {BAD} = 60^\circ \) nên tam giác \(ABD\) đều.
Suy ra \({S_{ABD}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\). Vậy diện tích của hình thoi \(ABCD\) là \({S_{ABCD}} = 2{S_{ABD}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\).
Ta cũng có tam giác \(BCD\) là tam giác đều cạnh \(a\).
Vì \(J\) là trung điểm của \(CD\) nên \(BJ \bot CD\) và \(BJ = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
Vì \(I\) là trung điểm của \(DJ\) nên ta có \(OI\,{\rm{//}}\,BJ\).
Do đó \(OI \bot CD\). Suy ra \(SI \bot CD\).
Ta có \(\left( {SCD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = CD\).
Trong mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\) có \(SI \bot CD\); trong mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) có \(OI \bot CD\).
Vậy góc giữa mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\) và mặt đáy \(\left( {ABCD} \right)\) là \(\widehat {SIO}\). Theo giả thiết, ta có \(\widehat {SIO} = 60^\circ \).
Trong tam giác \(SOI\) vuông tại \(O\), có \(\widehat {SIO} = 60^\circ \), \(IO = \frac{1}{2}BJ = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}\).
Do đó \(SO = IO \cdot \tan 60^\circ = \frac{{3a}}{4}\).
Thể tích khối chóp là \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SO \cdot {S_{ABCD}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{{3a}}{4} \cdot \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{8}\).
Vậy \(m = 3,\,n = 8\). Suy ra \(2024m - n = 6064\).
Đáp án: a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Sai.
Hot: 1000+ Đề thi giữa kì 1 file word cấu trúc mới 2025 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
- 20 đề thi tốt nghiệp môn Toán (có đáp án chi tiết) ( 38.500₫ )
- 20 Bộ đề, Tổng ôn, sổ tay môn Toán (có đáp án chi tiết) ( 55.000₫ )
- Bộ đề thi tốt nghiệp 2025 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh, Sử, Địa, KTPL (có đáp án chi tiết) ( 36.000₫ )
- Tổng ôn lớp 12 môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh Sử, Địa, KTPL (Form 2025) ( 36.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Ta có \(SI\) vuông góc với đáy \(\left( {ABCD} \right)\) và \(BC = \sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2} + {a^2}} = a\sqrt 5 \).
Vẽ \[IH \bot CB\] tại \[H\].
Do đó, \(IH\) là hình chiếu của \(SH\) lên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) nên \[SH \bot CB\] (theo định lý ba đường vuông góc).
Khi đó, \[\widehat {SHI}\] là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện \(\left[ {S,BC,D} \right]\).
Ta có \[{S_{ICB}} = {S_{ABCD}} - {S_{IDC}} - {S_{AIB}}\]\[ = 3{a^2} - \frac{{{a^2}}}{2} - {a^2} = \frac{{3{a^2}}}{2}\]\[ \Rightarrow IH \cdot CB = 3{a^2}\]\[ \Rightarrow IH = \frac{{3a\sqrt 5 }}{5}\].
Ta có \[\tan \widehat {SHI} = \frac{{SI}}{{IH}}\]\[ = \frac{{\frac{{3a\sqrt 5 }}{5}}}{{\frac{{3a\sqrt 5 }}{5}}} = 1\]\[ \Rightarrow \widehat {SHI} = 45^\circ \].
Đáp án: \[45\].
Lời giải
Do hình chóp \[S.ABC\] đều nên \(SG\) là đường cao của hình chóp (\(G\) là trọng tâm tam giác đều \(ABC\)). Kẻ \(MH \bot SA\) tại \(H\) thì \(MH\) là đoạn vuông góc chung của \(SA\) và \(BC\).
Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng \(SA\) và \(BC\) bằng \(MH\).
Do \(\Delta ABC\) đều nên \(AM = \frac{{AB\sqrt 3 }}{2} = \frac{{7\sqrt 3 }}{2}\).
Suy ra \(AG = \frac{2}{3}AM = \frac{{7\sqrt 3 }}{3}\).
Ta có \({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{{{7^2}\sqrt 3 }}{4} \cdot SG = \frac{{343\sqrt 3 }}{3}\)\( \Rightarrow SG = 28\).
Lại có \(SA = \sqrt {A{G^2} + S{G^2}} = \frac{{49\sqrt 3 }}{3}\).
Ta có \(\Delta AHM\) đồng dạng với \(\Delta AGS\)\( \Rightarrow \frac{{AM}}{{SA}} = \frac{{MH}}{{SG}} \Rightarrow MH = \frac{{SG \cdot AM}}{{SA}} = \frac{{3 \cdot 28 \cdot 7\sqrt 3 }}{{2 \cdot 49\sqrt 3 }} = 6\).
Đáp án: \(6\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
A. \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
B. \(\frac{{\sqrt 3 }}{6}\).
C. \(\frac{{\sqrt 3 }}{3}\).
D. \(\frac{{\sqrt 3 }}{4}\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
A. \(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}\).
B. \(\frac{{{a^3}}}{6}\).
C. \(\frac{{{a^3}}}{2}\).
D. \(\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{2}\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo