Trong không gian với hệ trục tọa độ \[Oxyz\], tìm tọa độ tâm \(I\) và bán kính \(R\) của mặt cầu \[\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 2y - 4z - 2 = 0\].     

a) Tính được \[\overrightarrow {AB}  = \left( {2;0;0} \right),\overrightarrow {AC}  = \left( {0;3;0} \right),\overrightarrow {AB'}  = \left( {0;0;4} \right) \Rightarrow AB = 2;AC = 3;AB' = 4\].

Có \[Oz \bot \left( {Oxy} \right)\] và \[AB' \subset Oz\], \[\left( {ABC} \right) \equiv \left( {Oxy} \right)\] nên \[AB' \bot \left( {ABC} \right)\].

Thể tích khối lăng trụ \[ABC.A'B'C'\] là:

\[V = d\left( {B',\left( {ABC} \right)} \right) \cdot {S_{\Delta ABC}} = AB' \cdot \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC = 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 3 = 12\].

b) Gọi \[A'\left( {x;y;z} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AA'}  = \left( {x;y;z} \right)\].

Có \[\overrightarrow {BB'}  = \left( { - 2;0;4} \right)\], mà \[\overrightarrow {BB'}  = \overrightarrow {AA'} \], suy ra toạ độ điểm \[A'\] là \[\left( { - 2;0;4} \right)\].

Từ đó ta có \[\overrightarrow {A'B}  = \left( {4;0; - 4} \right),\overrightarrow {A'C}  = \left( {2;3; - 4} \right)\]. Vậy \[\overrightarrow u  = \overrightarrow {A'B}  + \overrightarrow {A'C} \] thì \[\overrightarrow u  = \left( {6;3; - 8} \right)\].

c) Gọi \[C'\left( {a;b;c} \right) \Rightarrow \overrightarrow {CC'}  = \left( {a;b - 3;c} \right)\].

Ta có \[\overrightarrow {BB'}  = \overrightarrow {CC'} \], mà \[\overrightarrow {BB'}  = \left( { - 2;0;4} \right)\], suy ra toạ độ điểm \[C'\] là \[\left( { - 2;3;4} \right)\].

d) Hình chiếu vuông góc của điểm \[B\] lên mặt phẳng \[\left( {Oyz} \right)\] là điểm \[A\] (do \[Ox \bot \left( {Oyz} \right)\]).

Do \[Ox\,{\rm{//}}\,A'B'\] mà \[Ox \bot \left( {Oyz} \right)\] nên \[A'B' \bot \left( {Oyz} \right)\], từ đó suy ra hình chiếu vuông góc của điểm \[A'\] lên mặt phẳng \[\left( {Oyz} \right)\] là điểm \[B'\].

Gọi \[{C_1}\left( {m;n;p} \right)\] là hình chiếu vuông góc của \[C'\] lên mặt phẳng \[\left( {Oyz} \right)\]\[ \Rightarrow {C_1}\left( {0;3;4} \right)\].

Vậy hình chiếu của hình lăng trụ \[ABC.A'B'C'\] lên mặt phẳng \[\left( {Oyz} \right)\]là hình chữ nhật \[AB'{C_1}C\].

Diện tích đa giác là: \[{S_{AB'{C_1}C}} = AB' \cdot AC = 4 \cdot 3 = 12\].

Đáp án:       a) Sai,         b) Đúng,     c) Đúng,      d) Sai.

Phương trình của mặt phẳng đi qua M và song song với mặt phẳng \[\left( P \right)\] có dạng là \[3x - 2y + z + D = 0\,\,\left( {D \ne 1} \right)\].

Do mặt phẳng đó qua \[M\left( {2; - 1;4} \right)\] nên ta có \[3 \cdot 2 - 2 \cdot \left( { - 1} \right) + 4 + D = 0 \Leftrightarrow D =  - 12\].

Vậy phương trình mặt phẳng là \[3x - 2y + z - 12 = 0\]. Chọn C.